Was sind die Extrem- und Sattelpunkte von f (x, y) = 6 sin x sin y im Intervall x, y in [-pi, pi]?

Antworten:

# x = pi / 2 # und # y = pi #

# x = pi / 2 # und # y = -pi #

# x = -pi / 2 # und # y = pi #

# x = -pi / 2 # und # y = -pi #

# x = pi # und # y = pi / 2 #

# x = pi # und # y = -pi / 2 #

# x = -pi # und # y = pi / 2 #

# x = -pi # und # y = -pi / 2 #

Erläuterung:

Um die kritischen Punkte von a zu finden #2#-Variable-Funktion, müssen Sie den Gradienten berechnen, der ein Vektor ist, der die Ableitungen in Bezug auf jede Variable enthält:

# (d / dxf (x, y), d / dyf (x, y)) #

Also haben wir

# d / dx f (x, y) = 6cos (x) sin (y) #und ähnlich

# d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y) #.

Um die kritischen Punkte zu finden, muss der Gradient der Nullvektor sein #(0,0)#was bedeutet, das System zu lösen

# {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} #

was wir natürlich vereinfachen können #6#'s:

# {(cos (x) sin (y) = 0), (sin (x) cos (y) = 0):} #

Dieses System wird gelöst, wenn Sie sich für entscheiden # x # ein Punkt, der den Cosinus vernichtet, und für # y # ein Punkt, der den Sinus vernichtet, und umgekehrt

# x = pm pi / 2 #, und # y = pm pi #, und umgekehrt # x = pm pi # und # y = pm pi / 2 #erhalten #8# Punkte insgesamt.

Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Der Definitionsbereich von: f (x) = 2x ^ 2lnx ist das Intervall x in (0, + oo). Bewerten Sie die erste und die zweite Ableitung der Funktion: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Die kritischen Punkte sind die Lösungen von: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 und als x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) In diesem Punkt: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, so dass der kritische Punkt ein lokales Minimum ist. Die Sattelpunkte sind die Lösungen von: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 und da

Was sind die Extrem- und Sattelpunkte von f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) im Intervall x, y in [-pi, pi]?

Wir haben: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = -6sinxsin ^ 2y Schritt 1 - Finden der partiellen Ableitungen Wir berechnen die partielle Ableitung von eine Funktion von zwei oder mehr Variablen durch Differenzieren einer Variablen, während die anderen Variablen als konstant behandelt werden. Also: Die ersten Ableitungen sind: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y Die zweiten Ableitungen (zitiert) sind: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx ( 2cos2y) = -12sinxcos2y Die zweiten partiellen Kreuzderivate sind: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) -6cosxsin2y Beachten Sie, d

Was ist das absolute Extrem der Funktion: 2x / (x ^ 2 +1) bei geschlossenem Intervall [-2,2]?

Das absolute Extrem einer Funktion in einem geschlossenen Intervall [a, b] kann ein lokales Extrem in diesem Intervall sein oder die Punkte, deren Ascissae a oder b sind. Finden wir also die lokalen Extrema: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0, wenn -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1. Unsere Funktion wird also in [-2, -1) und in (1,2) dekrementiert und wächst in (-1,1). Daher ist der Punkt A (-1-1) ein lokales Minimum und der Punkt B (1,1) ist ein lokales Maximum. Nun finden wir die Ordinate der Punkte an den Enden des I