Was ist der Wert von sqrt (6 + sqrt (20))?

Antworten:

#sqrt (6 + sqrt (20)) = 1 + sqrt (5) #

Erläuterung:

Hier ist ein Weg, um es zu lösen.

Annehmen, dass #sqrt (6 + sqrt (20)) = a + sqrt (b) # woher #ein# und # b # sind nicht negative Ganzzahlen.

Dann quadrieren beide Seiten, # 6 + sqrt (20) = a ^ 2 + 2asqrt (b) + b #. Wir finden, dass Koeffizienten durch die Rationalität der Ausdrücke gleichgesetzt werden

# {(a ^ 2 + b = 6), (2asqrt (b) = sqrt (20) = 2sqrt (5)):} #

Aus der zweiten Gleichung haben wir # a ^ 2b = 5 #. Multiplizieren Sie beide Seiten der ersten Gleichung mit # b # bekommen # a ^ 2b + b ^ 2 = 6b #, oder # b ^ 2-6b + 5 = (b-5) (b-1) = 0 #.

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind # b = 1 # oder #5#, aber wenn # b = 1 #, # a = sqrt (5) #.

Somit ist die einzige Lösung für ganze Zahlen #ein# und # b # ist # a = 1, b = 5 #.

Also haben wir #sqrt (6 + sqrt (20)) = 1 + sqrt (5) #.