Die Funktion f (x) = sin (3x) + cos (3x) ist das Ergebnis einer Reihe von Transformationen, wobei die erste eine horizontale Translation der Funktion sin (x) ist. Welches davon beschreibt die erste Transformation?

Antworten:

Wir können die Grafik von bekommen # y = f (x) # von # ysinx # durch Anwenden der folgenden Transformationen:

• eine horizontale Übersetzung von # pi / 12 # Radiant nach links

• eine Strecke entlang #Ochse# mit einem Skalenfaktor von #1/3# Einheiten

• eine Strecke entlang # Oy # mit einem Skalenfaktor von #sqrt (2) # Einheiten

Erläuterung:

Betrachten Sie die Funktion:

# f (x) = sin (3x) + cos (3x) #

Nehmen wir an, wir können diese lineare Kombination von Sinus und Cosinus als eine phasenverschobene Sinusfunktion schreiben, das heißt, wir haben:

# f (x) - = Asin (3x + alpha) #

# = A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

# = Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x #

In diesem Fall durch Vergleich von Koeffizienten von # sin3x # und # cos3x # wir haben:

# Acos alpha = 1 # und # Asinalpha = 1 #

Durch das Quadrieren und Hinzufügen haben wir:

# A ^ 2cos ^ 2alpha + A ^ 2sin ^ 2alpha = 2 => A ^ 2 = 2 => A = sqrt (2) #

Durch das Teilen haben wir:

# tan alpha => alpha = pi / 4 #

So können wir schreiben, #f (x) # in der Form:

# f (x) - = sin (3x) + cos (3x) #

# = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #

# = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) #

So können wir die Grafik von bekommen # y = f (x) # von # ysinx # durch Anwenden der folgenden Transformationen:

• eine horizontale Übersetzung von # pi / 12 # Radiant nach links
• eine Strecke entlang #Ochse# mit einem Skalenfaktor von #1/3# Einheiten
• eine Strecke entlang # Oy # mit einem Skalenfaktor von #sqrt (2) # Einheiten

Was können wir grafisch sehen:

Der Graph von # y = sinx #:

Graph {sinx -10, 10, -2, 2}

Der Graph von # y = sin (x + pi / 12) #:

Graph {sin (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

Der Graph von # y = sin (3 (x + pi / 12)) = sin (3x + pi / 4) #:

Graph {sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

Der Graph von # y = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #:

graph {sqrt (2) sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

Und zum Schluss noch die Grafik der Originalfunktion zum Vergleich:

Graph {sin (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}