Für welche Werte von r (mit r> 0) konvergiert die Serie?

Antworten:

#r <1 / e # ist die Voraussetzung für die Konvergenz von #sum_ (n = 1) ^ ooor ^ ln (n) #

Erläuterung:

Ich werde nur den Teil über die Konvergenz beantworten, der erste Teil wurde in den Kommentaren beantwortet. Wir können benutzen # r ^ ln (n) = n ^ ln (r) # die Summe neu schreiben #sum_ (n = 1) ^ ooor ^ ln (n) # in der Form

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) #

Die Serie rechts ist die Serienform für die berühmte Riemann-Zeta-Funktion. Es ist allgemein bekannt, dass diese Serie bei der Annäherung zusammenläuft #p> 1 #. Mit diesem Ergebnis gibt es direkt

# -ln (r)> 1 impliziert ln (r) <- 1 impliziert r <e ^ -1 = 1 / e #

Das Ergebnis über die Riemann-Zeta-Funktionen ist sehr bekannt, wenn Sie eine ab initio Antwort, Sie können den integralen Test auf Konvergenz testen.