Finden Sie die Werte von x, für die die folgende Serie konvergiert?

Antworten:

#1<>

Erläuterung:

Wenn Sie versuchen, den Radius und / oder das Intervall der Konvergenz von Leistungsserien wie diesen zu bestimmen, verwenden Sie am besten den Ratio-Test, der uns eine Serie sagt # suma_n #, wir lassen

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Ob #L <1 # die serie ist absolut konvergent (und damit konvergent)

Ob #L> 1 #, die Serie läuft auseinander.

Ob # L = 1, # Der Ratio-Test ist nicht schlüssig.

Bei der Power Series sind jedoch drei Fälle möglich

ein. Die Potenzreihe konvergiert für alle reellen Zahlen; sein Konvergenzintervall ist # (- oo, oo) #

b. Die Potenzreihe konvergiert für eine bestimmte Anzahl # x = a; # sein Konvergenzradius ist Null.

c. Der häufigste Fall, für den die Leistungsserie konvergiert # | x-a |<> mit einem Intervall der Konvergenz von # a-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Also wenn # | 2x-3 | <1 #läuft die Serie zusammen. Aber wir brauchen das in der Form # | x-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <1/2 # führt zu Konvergenz. Der Konvergenzradius beträgt # R = 1 / 2. #

Bestimmen wir nun das Intervall:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Wir müssen stecken # x = 1, x = 2 # in die ursprüngliche Serie, um zu sehen, ob wir an diesen Endpunkten Konvergenz oder Divergenz haben.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # divergiert, der Summand hat keine Grenzen und geht sicherlich nicht auf Null, er wechselt lediglich die Vorzeichen.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # divergiert auch durch den Divergenztest, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Daher konvergiert die Serie für #1<>

Wir können den Ratio-Test verwenden, der besagt, ob wir eine Serie haben

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

es ist definitiv konvergent, wenn:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

In unserem Fall, # a_n = (2x-3) ^ n #Also prüfen wir das Limit:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) aufheben ((2x-3.)) ^ n)) / aufheben ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Wir müssen also prüfen, wann # | 2x-3 | # ist weniger als #1#:

Ich habe hier einen Fehler gemacht, aber die obige Antwort hat dieselbe Methode und eine korrekte Antwort. Schauen Sie sich das einfach an.

Die Summe von fünf Zahlen ist -1/4. Die Zahlen enthalten zwei Paare von Gegensätzen. Der Quotient zweier Werte ist 2. Der Quotient zweier verschiedener Werte ist -3/4. Was sind die Werte?

Wenn das Paar, dessen Quotient 2 ist, eindeutig ist, gibt es vier Möglichkeiten ... Es wird gesagt, dass die fünf Zahlen zwei Paare von Gegensätzen enthalten, also können wir sie nennen: a, -a, b, -b, c und ohne Verlust der Allgemeinheit sei a> = 0 und b> = 0. Die Summe der Zahlen ist -1/4, also: -1/4 = Farbe (rot) (Abbruch (Farbe (schwarz) (a))) + ( Farbe (rot) (Abbruch (Farbe (schwarz) (- a)))) + Farbe (rot) (Abbruch (Farbe (schwarz) (b)))) + (Farbe (rot) (Abbruch (Farbe (schwarz) (- b)))) + c = c Es wird gesagt, dass der Quotient zweier Werte 2 ist. Lassen Sie uns diese Aussage dahingehend inte

Für welche Werte von r (mit r> 0) konvergiert die Serie?

R <1 / e ist die Bedingung für die Konvergenz von sum_ (n = 1) ^ ooor ^ ln (n) Ich werde nur den Teil der Konvergenz beantworten, wobei der erste Teil in den Kommentaren beantwortet wurde. Wir können r ^ ln (n) = n ^ ln (r) verwenden, um die Summe sum_ (n = 1) ^ oder ^ ln (n) in der Form sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = umzuschreiben sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) Die Reihe rechts ist die Reihenform für die berühmte Riemann-Zeta-Funktion. Es ist allgemein bekannt, dass diese Reihe konvergiert, wenn p> 1 ist. Wenn Sie dieses Ergebnis direkt verwenden, ergibt sich -ln (r)>

Zeigen Sie, dass für alle Werte von m die Gerade x (2m-3) + y (3-m) + 1-2m = 0 durch den Schnittpunkt zweier fester Linien verläuft. Für welche Werte von m führt die angegebene Linie eine Halbierung durch die Winkel zwischen den beiden festen Linien?

M = 2 und m = 0 Lösung des Gleichungssystems x (2 m - 3) + y (3 - m) + 1 - 2 m = 0 x (2 n - 3) + y (3 - n) + 1 - 2 n = 0 für x, y erhalten wir x = 5/3, y = 4/3 Die Halbierung wird erhalten, wobei (gerade Deklination) (2m-3) / (3-m) = 1-> m = 2 und ( 2m-3) / (3-m) = -1 m = 0