Wie finden Sie das Gegenmittel von dx / (cos (x) - 1)?

Antworten:

Mache eine konjugierte Multiplikation, wende einen Trigger an und beende, um ein Ergebnis zu erhalten # int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Erläuterung:

Wie bei den meisten Problemen dieser Art lösen wir sie mit einem konjugierten Multiplikationstrick. Wann immer Sie etwas durch etwas Plus / Minus etwas geteilt haben (wie in # 1 / (cosx-1) #), es ist immer hilfreich, die konjugierte Multiplikation zu versuchen, insbesondere mit Triggerfunktionen.

Wir beginnen mit der Multiplikation # 1 / (cosx-1) # durch das Konjugat von # cosx-1 #, welches ist # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Sie fragen sich vielleicht, warum wir das tun. Es ist so, dass wir den Unterschied der Quadrateigenschaft anwenden können, # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #im Nenner, um es ein wenig zu vereinfachen. Zurück zum Problem:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (Unterlauf (cosx) -unterlauf (1)) (Unterboden (cosx) + Unterboden1)) #

#Farbe (weiß) (III) Farbe (weiß) (XXX) Farbe (weiß) (XXX) Farbe (weiß) (XXX) b #

Beachten Sie, wie das im Wesentlichen ist # (a-b) (a + b) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Nun, was ist mit? # cos ^ 2x-1 #? Wir wissen es # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Multiplizieren wir das mit #-1# und sehen, was wir bekommen:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

Es stellt sich heraus, dass # -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, also lass uns ersetzen # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

Das ist äquivalent zu # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, die mit etwas Trigger auf # -cotxcscx-csc ^ 2x #.

An diesem Punkt haben wir uns zu Integral vereinfacht # int1 / (cosx-1) dx # zu # int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. Mit der Summenregel wird dies zu:

# int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

Die erste davon ist # cscx # (weil die Ableitung von # cscx # ist # -cotxcscx #) und der zweite ist # cotx # (weil die Ableitung von # cotx # ist # -csc ^ 2x #). Fügen Sie die Konstante der Integration hinzu # C # und du hast deine Lösung:

# int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Wie finden Sie das Gegenmittel von (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Arctan (e ^ x) + C schreibt e ^ x dx als "d (e ^ x)", dann erhalten wir int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2 ) "Mit der Substitution y =" e ^ x "erhalten wir" int (d (y)) / (1 + y ^ 2) ", was gleich" arctan (y) + C "ist. Setzen Sie nun" y = "zurück e ^ x: arctan (e ^ x) + C

Wie finden Sie das Gegenmittel von Cosx / Sin ^ 2x?

-cosecx + C I = intcosx / sin ^ 2xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C

Wie finden Sie das Gegenmittel von cos ^ 4 (x) dx?

Sie möchten es mit trig Identitäten aufteilen, um schöne, einfache Integrale zu erhalten. cos ^ 4 (x) = cos ^ 2 (x) * cos ^ 2 (x) Wir können mit cos ^ 2 (x) leicht genug umgehen, indem wir die Doppelwinkel-Cosinusformel neu anordnen. cos ^ 4 (x) = 1/2 (1 + cos (2x)) * 1/2 (1 + cos (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2 cos (2x) + cos ^) 2 (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + 1/2 (1 + cos (4x))) cos ^ 4 (x) = 3/8 + 1/2 * cos (2x) + 1/8 * cos (4x) So ist int cos ^ 4 (x) dx = 3/8 * int dx + 1/2 * int cos (2x) dx + 1/8 * int cos (4x dx int cos ^ 4 (x) dx = 3 / 8x + 1/4 * sin (2x) + 1/32 * sin (4x) + C