Wie finden Sie das Gegenmittel von (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Antworten:

#arctan (e ^ x) + C #

Erläuterung:

# "schreiben" e ^ x "dx als" d (e ^ x) ", dann erhalten wir" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "mit der Substitution y =" e ^ x "erhalten wir" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "was gleich ist" #

#arctan (y) + C #

# "Jetzt zurücksetzen" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Antworten:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctan ^ x + "c" #

Erläuterung:

Wir wollen finden # inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Nun lass # u = e ^ x # und so die Differenzierung auf beiden Seiten ergibt # du = e ^ xdx #. Jetzt setzen wir beide Gleichungen in das Integral ein, um zu erhalten

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Dies ist ein Standardintegral, das mit bewertet wird # arctanu #. Ersatz für # x # wir bekommen eine abschließende antwort:

#arctan e ^ x + "c" #

Antworten:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Erläuterung:

Zuerst lassen wir es # u = 1 + e ^ (2x) #. In Bezug auf integrieren # u #teilen wir uns durch die Ableitung von # u #, welches ist # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

In Bezug auf integrieren # u #Wir brauchen alles in Form von # u #, also müssen wir für was lösen # e ^ x # ist in Bezug auf # u #:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Jetzt können wir das wieder in das Integral stecken:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Als nächstes werden wir eine Substitution mit einführen # z = sqrt (u-1) #. Die Ableitung ist:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

so teilen wir uns durch in Bezug auf integrieren # z # (Denken Sie daran, dass das Teilen das Gleiche ist wie das Multiplizieren mit dem Kehrwert):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Jetzt haben wir wieder die falsche Variable, also müssen wir nach dem was suchen # u # ist gleich in Bezug auf # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

Das gibt:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Dies ist die übliche Ableitung von # tan ^ -1 (z) #so bekommen wir:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Wenn wir alle Ersetzungen rückgängig machen, erhalten wir:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #