Was ist eine besondere Lösung für die Differentialgleichung (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) und u (0) = - 5?

Antworten:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 #

Erläuterung:

# (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) #

# 2u (du) / dt = 2t + sec ^ 2t #

#int du qquad 2 u = int dt qquad 2t + sec ^ 2t #

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + C #

Anwendung der IV

# (- 5) ^ 2 = 2 (0) + tan (0) + C #

#implies C = 25 #

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 #

Antworten:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tant + 25 #

Erläuterung:

Beginnen Sie, indem Sie beide Seiten mit multiplizieren # 2u # und # dt # um die Differentialgleichung zu trennen:

# 2udu = 2t + sec ^ 2tdt #

Jetzt integrieren:

# int2udu = int2t + sec ^ 2tdt #

Diese Integrale sind nicht zu kompliziert, aber wenn Sie Fragen haben, haben Sie keine Angst zu fragen. Sie bewerten zu:

# u ^ 2 + C = t ^ 2 + C + tan t + C #

Wir können alles kombinieren # C #s, um eine allgemeine Konstante zu machen:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tant + C #

Wir erhalten den Anfangszustand #u (0) = - 5 # so:

# (- 5) ^ 2 = (0) ^ 2 + tan (0) + C #

# 25 = C #

Die Lösung ist also # u ^ 2 = t ^ 2 + tant + 25 #

Antworten:

#u (t) = -sqrt (t ^ 2 + tan (t) +25) #

Erläuterung:

Variablen gruppieren

# 2 u du = (2t + sec ^ 2 (t)) dt #

Beide Seiten integrieren

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan (t) + C #

#u (t) = pm sqrt (t ^ 2 + tan (t) + C) #

aber unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen

#u (0) = -sqrt (C) = -5-> C = 25 #

und schlussendlich

#u (t) = -sqrt (t ^ 2 + tan (t) +25) #