Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass S = {m + nsqrt (-p) m, n in ZZ} ein Subring von CC ist. Prüfen Sie außerdem, ob S ein Ideal von CC ist oder nicht.

Antworten:

# S # ist ein Teilring, aber kein Ideal.

Erläuterung:

Gegeben:

#S = m + nsqrt (-p) #

• # S # enthält die additive Identität:

  # 0 + 0sqrt (-p) = 0Farbe (weiß) (((1/1), (1/1))) #

• # S # ist unter dem Zusatz geschlossen:

  # (m_1 + n_1 sqrt (-p)) + (m_2 + n_2 sqrt (-p)) = (m_1 + m_2) + (n_1 + n_2) sqrt (-p) Farbe (weiß) ((1/1), (1/1))) #

• # S # wird unter additiver Inverse geschlossen:

  # (m_1 + n_1 sqrt (-p)) + (-m_1 + -n_1 sqrt (-p)) = 0 color (weiß) (((1/1), (1/1))) #

• # S # ist unter Multiplikation geschlossen:

  # (m_1 + n_1 sqrt (-p)) (m_2 + n_2 sqrt (-p)) = (m_1m_2-pn_1n_2) + (m_1n_2 + m_2n_1) sqrt (-p) Farbe (weiß ((1/1)), (1/1))) #

So # S # ist ein Teilring von # CC #.

Es ist kein Ideal, da es nicht die Eigenschaft der Absorption hat.

Zum Beispiel:

#sqrt (3) (1 + 0sqrt (-p)) = sqrt (3)! in S #