Lösen Sie dieses Problem mit riemann integral?

Antworten:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # oder # ca. 1.302054638 … #

Erläuterung:

Die wichtigste Identität bei der Lösung von Problemen mit unendlichen Produkten ist die Umwandlung in ein Problem mit unendlichen Summen:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

BETONUNG:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

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Aber bevor wir dies tun können, müssen wir uns zuerst mit dem # frac {1} {n ^ 2} in der Gleichung befassen und wir wollen das unendliche Produkt L nennen:

# L = lim_ {n bis + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n bis + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n bis + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n bis + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

Jetzt können wir dies in eine unendliche Summe umrechnen:

# L = lim_ {n bis + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n bis + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #

logarithmische Eigenschaften anwenden:

# L = lim_ {n bis + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2) }) #

Und mit Limit-Eigenschaften:

# L = exp lim_ {n bis + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2) }) #

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Nennen wir die unendliche Summe S:

# S = lim_ {n bis + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Und denk daran

# L = exp (S) #

Nun lösen wir Ihre Frage, indem Sie sie aus einem konvertieren RIEMANN SUMME zu einem DEFINITE INTEGRAL:

Es sei daran erinnert, dass die Definition einer Riemann-Summe lautet:

BETONUNG:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n bis + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

Lassen

# lim_ {n bis + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n bis + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Nun lass # f (x) = ln (1 + x ^ 2) und a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Somit ist b = 1, d.h.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Deshalb,

# S = lim_ {n bis + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

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Lösen für # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

Integration von Teilen verwenden:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Lassen # u = ln (1 + x ^ 2) und v = 1 #

Dann verwenden Sie Kettenregel und die Ableitung des natürlichen Logarithmus, um zu erhalten # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

und benutze die Power-Regel, um: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Subtraktionsregel verwenden:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Verwenden Sie die Leistungsregel für das erste Integral und das zweite Integral ist die trigonometrische Standardfunktion # arctan (x) # (die Umkehrung der Tangensfunktion)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Somit, # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

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Jetzt nach dem bestimmten Integral lösen:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

Wir wissen, dass das Anti-Derivat ist # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #So

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

Beachten Sie, dass arctan (1) 45 ° oder ist # frac { pi} {4} # (erinnern Sie an das spezielle rechtwinklige Dreieck mit den Seitenlängen 1,1, # sqrt {2} # und Winkel 45 °, 45 °, 90 °) und auch # arctan (0) = 0 #

Somit #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2} #

oder # ca. 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp In (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {In (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Daher ist die Lösung # lim_ {n bis + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # oder # ca. 1.302054638 … #