Kreis A hat ein Zentrum bei (6, 5) und eine Fläche von 6 pi. Kreis B hat ein Zentrum bei (12, 7) und eine Fläche von 48 pi. Überschneiden sich die Kreise?

Antworten:

Schon seit

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # und

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

Wir können ein echtes Dreieck mit den rechteckigen Seiten 48, 6 und 40 erzeugen, so dass sich diese Kreise schneiden.

Erläuterung:

Warum der Grund? #Pi#?

Die Gegend ist #A = pi r ^ 2 # so # r ^ 2 = A / pi # Der erste Kreis hat also einen Radius # r_1 = sqrt {6} # und der zweite # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Die Zentren sind #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # ein Teil.

Die Kreise überlappen sich also #sqrt {6} + 4 sqrt {3} und 2 sqrt {10} #.

Das ist so hässlich, dass man Ihnen den Zugriff auf den Rechner verweigert. Aber es ist wirklich nicht nötig. Lassen Sie uns einen Umweg machen und sehen, wie dies mit Rational Trigonometry durchgeführt wird. Dort kümmern wir uns nur um die quadratischen Längen, genannt Quadranzen.

Nehmen wir an, wir wollen drei Quadranzen testen #ABC# sind die Quadranzen zwischen drei kollinearen Punkten, d.h. #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # oder #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # oder #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Wir schreiben es als

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Squaring, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Wieder Squaring

# (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Es stellt sich heraus

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

ist ein Diskriminant für Dreiecke. Wir haben nur gezeigt, ob #mathcal {A} = 0 # das heißt wir haben eine entartetes Dreieck, gebildet aus drei kollinearen Punkten. Ob #mathcal {A}> 0 # dann haben wir eine echtes dreieck jede Seite weniger als die Summe der anderen beiden. Ob #mathcal {A} <0 # Wir haben keine Seiten, die die Ungleichheit des Dreiecks befriedigen, und wir nennen dies manchmal eine imaginäres Dreieck.

Kehren wir zu unserer Frage zurück, die mit unserem neuen Dreiecksymbol ausgestattet ist #mathcal {A} #. Wenn sich die Kreise schneiden, können wir ein Dreieck aus den beiden Zentren und einen Schnittpunkt machen, so dass die Seiten Längen haben # r_1 #, # r_2 #und die Entfernung zwischen den Zentren #(6,5)# und #(12,7)#. Wir haben

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # also haben wir ein echtes Dreieck, d. h. überlappende Kreise.

Oh ja, für jedes Dreieck #mathcal {A} = 16 (Text {Bereich}) ^ 2. #

Überprüfen Sie: Alpha

Kreis A hat ein Zentrum bei (12, 9) und eine Fläche von 25 Pi. Kreis B hat ein Zentrum bei (3, 1) und eine Fläche von 64 pi. Überschneiden sich die Kreise?

Ja Zuerst müssen wir den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise ermitteln. Dies ist darauf zurückzuführen, dass sich die Kreise in dieser Entfernung am nächsten befinden. Wenn sie sich also überlappen, liegt sie entlang dieser Linie. Um diesen Abstand zu finden, können wir die Abstandsformel verwenden: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + (9-1) ^ 2 ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~~ 12.04 Nun müssen wir den Radius jedes Kreises ermitteln. Wir wissen, dass die Fläche eines Kreises p ^ 2 ist, also können wir das verwenden, um nach r zu l

Kreis A hat ein Zentrum bei (3, 5) und eine Fläche von 78 pi. Kreis B hat ein Zentrum bei (1, 2) und eine Fläche von 54 pi. Überschneiden sich die Kreise?

Ja Zuerst brauchen wir den Abstand zwischen den beiden Zentren, dh D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 Nun brauchen wir die Summe der Radien, da: D> (r_1 + r_2); "Kreise überlappen sich nicht" D = (r_1 + r_2); "Kreise berühren einfach" D <(r_1 + r_2); "Kreise überschneiden sich" pir_1 "" ^ 2 = 78pi r_1 "" ^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2 "" ^ 2 = 54pi r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16,2 16,2> 3,61, so dass sich Kreise überl

Kreis A hat ein Zentrum bei (1, 5) und eine Fläche von 24 Pi. Kreis B hat ein Zentrum bei (8, 4) und eine Fläche von 66 pi. Überschneiden sich die Kreise?

Ja, die Kreise überlappen sich. Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises A zum Mittelpunkt des Kreises B = 5sqrt2 = 7.071 Die Summe ihrer Radien ist = sqrt66 + sqrt24 = 13.023 Gott segne ... Ich hoffe, die Erklärung ist nützlich ..