Kreis A hat ein Zentrum bei (3, 5) und eine Fläche von 78 pi. Kreis B hat ein Zentrum bei (1, 2) und eine Fläche von 54 pi. Überschneiden sich die Kreise?

Antworten:

Ja

Erläuterung:

Erstens brauchen wir den Abstand zwischen den beiden Zentren # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Nun brauchen wir die Summe der Radien, da:

#D> (r_1 + r_2); "Kreise überlappen sich nicht" #

# D = (r_1 + r_2); "Kreise berühren einfach" #

#D <(r_1 + r_2); "Kreise überlappen sich" #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#Kreise überlappen sich also.

Beweis:

Graph {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36 12.64}

Antworten:

Diese überlappen sich wenn #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

Wir können den Rechner überspringen und überprüfen # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # oder #4(13)(54) > 11^2# was es sicher ist, also ja, überlappen sich.

Erläuterung:

Kreisfläche ist natürlich #pi r ^ 2 # so teilen wir das Unentgeltliche auf #Pi#s.

Wir haben Radien quadriert

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

und quadratischer Abstand zwischen den Zentren

# d ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Grundsätzlich möchten wir wissen, ob # r_1 + r_2 ge d #wenn wir aus zwei Radien und dem Segment zwischen den Zentren ein Dreieck machen können.

Die quadratischen Längen sind alle schöne ganze Zahlen und es ist verrückt, dass wir alle instinktiv nach dem Rechner oder Computer greifen und anfangen, Quadratwurzeln zu nehmen.

Wir müssen es nicht, aber es erfordert einen kleinen Umweg. Lassen Sie uns Herons Formel verwenden, nennen Sie das Gebiet # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # woher # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((a + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Das ist schon besser als Heron. Aber wir machen weiter. Ich werde etwas Langeweile überspringen.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Das ist schön symmetrisch, wie wir es für eine Flächenformel erwarten würden. Lassen Sie uns es weniger symmetrisch aussehen. Erinnern

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Hinzufügen, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Dies ist eine Formel für die quadratische Fläche eines Dreiecks angesichts der quadratischen Längen der Seiten. Wenn die letzteren rational sind, so ist die erstere.

Lass es uns ausprobieren. Wir können die Seiten beliebig zuweisen. für die Handberechnung ist es am besten, # c # die größte seite, # c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# b ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Noch bevor wir es berechnen, können wir sehen, dass wir ein positives Ergebnis haben # 16Q ^ 2 # also ein echtes dreieck mit positiver fläche, also überlappende kreise.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Wenn wir einen negativen Wert erhalten hätten, einen imaginären Bereich, ist das kein echtes Dreieck, also nicht überlappende Kreise.