Wenn a ^ 3 + b ^ 3 = 8 und a ^ 2 + b ^ 2 = 4, wie lautet dann der Wert von (a + b)?

Antworten:

Es gibt zwei mögliche Werte für die Summe: # a + b = 2 # (zum # a = 2 # und # b = 0 #) oder # a + b = -4 # (zum # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}). #

Erläuterung:

Es gibt wirklich zwei Unbekannte, die Summe und das Produkt von #ein# und # b, # also lass #x = a + b # und #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

Zwei Gleichungen in zwei Unbekannten

# 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2-4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Dies wird als niedergedrückte kubische Form bezeichnet, und diese haben eine ziemlich einfache Lösung in geschlossener Form wie die quadratische Formel. Anstatt das anzufassen, lassen Sie uns einfach eine Wurzel durch die altehrwürdige Methode des Versuchens kleiner Zahlen erraten. Wir sehen # x = 2 # funktioniert so # (x-2) # ist ein Faktor.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Wir können jetzt noch weiter einschätzen

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Es gibt also zwei mögliche Werte für die Summe: # a + b = 2 # und # a + b = -4. #

Die erste Antwort entspricht der realen Lösung # a = 2, b = 0 # und durch Symmetrie # a = 0, b = 2 #. Die zweite Antwort entspricht der Summe eines Paars komplexer Konjugate. Sie sind # a, b = -2 pm i sqrt {2} #. Kannst du diese Lösung überprüfen?

Antworten:

# (a + b) = 2 oder a + b = -4 #

Erläuterung:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (a + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Jetzt,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (a + b) (4-ab) = 8 #

# => (a + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (a + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Lassen,

# (a + b) = x #

So, # => x (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => x (12-x ^ 2) = 16 #

# => x ^ 3-12x + 16 = 0 #

Beobachte das #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (x-2) # ist ein Faktor.

Jetzt, # x ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = x ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (x-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (x-2) (x + 4) (x-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2 oder x = -4 #.

#:. a + b = 2 oder a + b = -4 #.

Diagramm ist hier gegeben.

Der Wert von #Farbe (rot) ((a + b) = 2 oder -4. #

Ich hoffe es hilft…

Vielen Dank…