Die Halbwertszeit von Kobalt 60 beträgt 5 Jahre. Wie erhält man ein exponentielles Zerfallsmodell für Cobalt 60 in der Form Q (t) = Q0e ^ -kt?

Antworten:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Erläuterung:

Wir haben eine Differentialgleichung aufgestellt. Wir wissen, dass die Änderungsrate des Cobalt proportional zu der vorhandenen Cobaltmenge ist. Wir wissen auch, dass es ein Zerfallsmodell ist, daher wird es ein negatives Zeichen geben:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Dies ist ein schöner, einfacher und trennbarer Unterschied:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# impliziert ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Erhöhe jede Seite mit Exponentialen:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Nun, da wir die allgemeine Form kennen, müssen wir herausfinden, was # k # ist.

Die Halbwertszeit sei mit bezeichnet # tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#ohne 1/2 = e ^ (- ktau) #

Nehmen Sie natürliche Protokolle von beiden Seiten:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

Um Ordnung zu schaffen, umschreiben #ln (1/2) = -ln (2) #

#ohne k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) yr ^ (- 1) #

# daher Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #