Was ist der Logarithmus einer negativen Zahl?

Logarithmen negativer Zahlen werden nicht in den reellen Zahlen definiert, genauso wie die Wurzeln von negativen Zahlen nicht in den reellen Zahlen definiert sind. Wenn Sie das Protokoll einer negativen Zahl finden, reicht in den meisten Fällen die Antwort "undefined" aus.

Es ist Wenn Sie einen Wert auswerten können, wird die Antwort jedoch eine komplexe Zahl sein. (eine Nummer des Formulars #a + bi #, woher #i = sqrt (-1) #)

Wenn Sie mit komplexen Zahlen vertraut sind und mit ihnen arbeiten möchten, lesen Sie weiter.

Beginnen wir mit einem allgemeinen Fall:

#log_b (-x) =? #

Wir werden die Basenwechselregel verwenden und in natürliche Logarithmen konvertieren, um es später einfacher zu machen:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Beachten Sie, dass #ln (-x) # ist das gleiche wie #ln (-1 * x) #. Wir können die Additionseigenschaft von Logarithmen nutzen und diesen Teil in zwei separate Protokolle aufteilen:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Jetzt ist das einzige Problem herauszufinden, was #ln (-1) # ist. Es mag auf den ersten Blick unmöglich erscheinen, zu bewerten, aber es gibt eine ziemlich berühmte Gleichung, die als Eulers Identität bekannt ist und die uns helfen kann.

Eulers Identität besagt:

# e ^ (ipi) = -1 #

Dieses Ergebnis ergibt sich aus den Erweiterungen der Potenzreihen von Sinus und Cosinus. (Ich werde das nicht zu ausführlich erklären, aber wenn Sie interessiert sind, gibt es hier eine schöne Seite, die etwas mehr erklärt.)

Lassen Sie uns zunächst das natürliche Protokoll beider Seiten von Eulers Identität betrachten:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Vereinfacht:

#ipi = ln (-1) #

Jetzt wissen wir was #ln (-1) # ist, können wir zurück in unsere Gleichung ersetzen:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Jetzt haben Sie eine Formel zum Auffinden von Protokollen mit negativen Zahlen. Also, wenn wir so etwas bewerten wollen # log_2 10 #, wir können einfach ein paar Werte einfügen:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #