Ein Kreis hat einen Mittelpunkt, der auf die Linie y = 7 / 2x +3 fällt und durch (1, 2) und (8, 1) verläuft. Was ist die Gleichung des Kreises?

Antworten:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Erläuterung:

Punkt A #(1,2)# und Punkt B #(8,1)# muss den gleichen Abstand (einen Radius) vom Mittelpunkt des Kreises haben

Dies liegt auf der Linie von Punkten (L), die alle gleich weit von A und B entfernt sind

Die Formel zur Berechnung der Entfernung (d) zwischen zwei Punkten (von Pythagorus) lautet # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

Ersetzen Sie in dem, was wir für Punkt A und einen beliebigen Punkt auf L kennen

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

Ersetzen Sie in was wir für Punkt B und einen beliebigen Punkt auf L wissen

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Deshalb

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Erweitern Sie die Klammern

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Vereinfachen

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

Der Mittelpunkt liegt auf der Linie #y = 7x - 30 # (die Menge von Punkten gleich weit entfernt von A und B)

und auf der Linie #y = 7x / 2 + 3 # (gegeben)

lösen, wo sich diese beiden Linien kreuzen, um den Mittelpunkt des Kreises zu finden

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

ersetzen in #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei #(66/7, 36)#

Der quadratische Radius des Kreises kann jetzt als berechnet werden

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

Die allgemeine Formel für einen Kreis oder Radius # r # ist

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # mit der Mitte bei h, k

Wir wissen es jetzt # h #, # k # und # r ^ 2 # und kann sie in die allgemeine Gleichung für den Kreis einsetzen

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

Klammern erweitern

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 - 72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

und vereinfachen

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Der Radius des größeren Kreises ist doppelt so lang wie der Radius des kleineren Kreises. Die Fläche des Donuts beträgt 75 Pi. Finden Sie den Radius des kleineren (inneren) Kreises.

Der kleinere Radius ist 5. Sei r = der Radius des inneren Kreises. Dann ist der Radius des größeren Kreises 2r. Aus der Referenz erhalten wir die Gleichung für die Fläche eines Annulus: A = pi (R ^ 2-r ^ 2) Ersetzen Sie 2r durch R: A = pi ((2r) ^ 2-r ^ 2) Vereinfachen Sie: A = pi ((4r ^ 2- r ^ 2) A = 3pir ^ 2 Ersetzen Sie im angegebenen Bereich: 75pi = 3pir ^ 2 Teilen Sie beide Seiten durch 3pi: 25 = r ^ 2 r = 5

Die Linie n verläuft durch die Punkte (6,5) und (0, 1). Was ist der y-Achsenabschnitt der Linie k, wenn die Linie k senkrecht zur Linie n verläuft und durch den Punkt (2,4) verläuft?

7 ist der y-Achsenabschnitt der Linie k Zuerst lassen Sie uns die Steigung für die Linie n ermitteln. (1-5) / (0-6) (-4) / - 6 2/3 = m Die Steigung der Linie n beträgt 2/3. Das heißt, die Steigung der Linie k, die senkrecht zur Linie n verläuft, ist der negative Kehrwert von 2/3 oder -3/2. Also lautet die Gleichung, die wir bisher haben: y = (- 3/2) x + b Um b oder den y-Achsenabschnitt zu berechnen, fügen Sie einfach (2,4) in die Gleichung ein. 4 = (- 3/2) (2) + b 4 = -3 + b 7 = b Der y-Achsenabschnitt ist also 7

Schreiben Sie die Punktneigungsform der Gleichung mit der angegebenen Steigung, die durch den angegebenen Punkt verläuft. A.) die Linie mit der Steigung -4, die durch (5,4) verläuft. und auch B.) die Linie mit der Steigung 2, die durch (-1, -2) verläuft. bitte helfen, das verwirrend?

Y-4 = -4 (x-5) "und" y + 2 = 2 (x + 1)> "die Gleichung einer Linie in" Farbe (blau) "Punktneigungsform" ist. • color (weiß) (x) y-y_1 = m (x-x_1) "wobei m die Steigung ist und" (x_1, y_1) "ein Punkt auf der Linie" (A) "bei" m = -4 "und "(x_1, y_1) = (5,4)" Ersetzen dieser Werte in die Gleichung ergibt "y-4 = -4 (x-5) larrcolor (blau)" in Punktneigungsform "(B)" gegeben "m" = 2 "und" (x_1, y_1) = (- 1, -2) y - (- 2)) = 2 (x - (- 1)) rArry + 2 = 2 (x + 1) Larrcolor (blau) " in Punktneigungsform &quo