Wie beweisen Sie (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2?

Antworten:

Verwenden Sie einige Trig-Identitäten und vereinfachen Sie diese. Siehe unten.

Erläuterung:

Ich glaube, dass es einen Fehler in der Frage gibt, aber das ist keine große Sache. Um es sinnvoll zu machen, sollte die Frage lauten:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

So oder so beginnen wir mit diesem Ausdruck:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Beim Nachweis von Trig-Identitäten ist es im Allgemeinen am besten, auf der Seite zu arbeiten, die einen Bruch aufweist.)

Wir verwenden einen ordentlichen Trick, der als konjugierte Multiplikation bezeichnet wird, bei dem der Bruch mit dem Nenner multipliziert wird konjugieren:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Das Konjugat von # a + b # ist # a-b #, so das Konjugat von # 1 + sinx # ist # 1-sinx #; wir multiplizieren mit # (1-sinx) / (1-sinx) # die Fraktion ausgleichen

Beachten Sie, dass # (1 + sinx) (1-sinx) # ist eigentlich ein Unterschied der Quadrate, der die Eigenschaft hat:

# (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Hier sehen wir das # a = 1 # und # b = sinx #, so:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ ^ 2x #

Aus der pythagoräischen Identität # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #folgt daraus (nach Abzug # sin ^ 2x # von beiden Seiten), # cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Wow, wir gingen davon # (1-sinx) / (1-sinx) # zu # 1-sin ^ 2x # zu # cos ^ 2x #! Nun sieht unser Problem so aus:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Lassen Sie uns den Zähler erweitern:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Merken: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Jetzt zerlegen wir die Fraktionen:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Wie zu vereinfachen Das ? Nun, denk dran, als ich sagte: "Denk dran: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Es stellt sich heraus, dass # sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # ist eigentlich # (secx-tanx) ^ 2 #. Wenn wir lassen # a = secx # und # b = Tanx #, können wir sehen, dass dieser Ausdruck ist:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + Untergang ((b) ^ 2) _tanx #

Welches, wie ich gerade sagte, entspricht # (a-b) ^ 2 #. Ersetzen #ein# mit # secx # und # b # mit # tanx # und du bekommst:

# sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Und wir haben das Prood vollendet:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #