Anzahl der Werte des Parameters alpha in [0, 2pi], für die die quadratische Funktion (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alpha x + 1/2 (cos alpha + sin alpha) das Quadrat einer linearen Funktion ist ? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 1

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Wenn wir wissen, dass der Ausdruck dann das Quadrat einer linearen Form sein muss

# (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alpha x + 1/2 (cos alpha + sin alpha) = (ax + b) ^ 2 #

dann gruppieren wir Koeffizienten

# (alpha ^ 2-sin (alpha)) x ^ 2 + (2ab-2cos alpha) x + b ^ 2-1 / 2 (Sinalpha + Cosalpha) = 0 #

so ist der zustand

# {(a ^ 2-sin (alpha) = 0), (ab-cos alpha = 0), (b ^ 2-1 / 2 (Sinalpha + Cosalpha) = 0):} #

Dies kann gelöst werden, indem zuerst die Werte für # a, b # und Ersetzen.

Wir wissen das # a ^ 2 + b ^ 2 = sin alpha + 1 / (sin alpha + cos alpha) # und

# a ^ 2b ^ 2 = cos ^ 2 alpha # Jetzt lösen

# z ^ 2- (a ^ 2 + b ^ 2) z + a ^ 2b ^ 2 = 0 #. Lösen und ersetzen # a ^ 2 = sinalpha # wir erhalten

#a = b = pm 1 / Wurzel (4) (2), alpha = pi / 4 #

#a = pm sqrt (2) / Wurzel (4) (5), b = pm 1 / (sqrt (2) Wurzel (4) (5)), alpha = pi-tan ^ -1 (2) #