Wie unterscheidet sich trigonometrische Substitution von u-Substitution?

Antworten:

Im Allgemeinen wird eine Triggersubstitution für die Integrale des Formulars verwendet # x ^ 2 + -a ^ 2 # oder #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #während # u #-substitution wird verwendet, wenn eine Funktion und ihre Ableitung im Integral erscheinen.

Erläuterung:

Ich finde beide Arten von Substitutionen aufgrund der Hintergründe sehr faszinierend. Betrachten Sie zunächst die Auslösung des Triggers. Dies ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras und den pythagoräischen Identitäten, die wahrscheinlich die zwei wichtigsten Konzepte der Trigonometrie sind. Wir benutzen das, wenn wir etwas haben:

# x ^ 2 + a ^ 2 -> # woher #ein# ist konstant

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # wieder anzunehmen #ein# ist konstant

Wir können sehen, dass diese beiden schrecklich aussehen # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, das ist der Satz des Pythagoras. Sie bezieht die beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks auf die Hypotenuse des Dreiecks. Wenn wir das herausziehen, können wir das ja sehen, # x ^ 2 + a ^ 2 # kann mit einem Dreieck dargestellt werden:

Das Bild ist sehr nützlich, weil es uns sagt # tantheta = x / a #, oder # atantheta = x #; Dies bildet die Basis der Triggersubstitution. Außerdem (und hier wird es großartig), wenn Sie ersetzen # x = Tantheta # in # x ^ 2 + a ^ 2 #In diesem Fall erhalten Sie eine pythagoreische Identität # tan ^ 2theta + 1 = sec ^ 2theta #. Sie können dann etwas vereinfachen # sec ^ 2theta # Wenn Sie müssen, und das Integral ist einfach da draußen. Gleiches gilt für die Fälle # x ^ 2-a ^ 2 #, # a ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, und #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Sie können Trig-Sub verwenden. für viele Probleme, aber Sie können verwenden # u #-substitution wohl noch mehr. Wir verwenden diese Technik, wenn wir so etwas haben # intlnx / xdx #. Wenn wir aufmerksam sind, sehen wir, dass wir zwei Funktionen haben: # lnx # und # 1 / x #. Und wenn wir uns an unsere Basisderivate erinnern, wissen wir # d / dxlnx = 1 / x # zum #x> 0 # (oder # d / dxlnabs (x) = 1 / x # zum #x! = 0 #). Die Idee ist also sagen zu lassen # u = lnx #; dann # (du) / dx = 1 / x # und # du = dx / x #. Das Problem, nachdem diese Ersetzungen vorgenommen wurden, vereinfacht sich zu # intudu # - ein viel einfacher integriertes als zuvor.

Obwohl diese beiden Techniken unterschiedlich sein können, dienen sie demselben Zweck: Das Integral auf eine einfachere Form zu reduzieren, sodass grundlegende Techniken verwendet werden können. Ich bin mir sicher, dass meine Erklärung nicht ausreicht, um alle spezifischen Details zu diesen Substitutionen anzugeben. Ich lade andere dazu ein, einen Beitrag zu leisten.