Was ist int (cos (x)) ^ 4 dx?

Antworten:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Erläuterung:

Obwohl wir uns anfangs als ein wirklich nerviges Integral erwiesen haben, können wir tatsächlich Trig-Identitäten nutzen, um dieses Integral in eine Reihe einfacher Integrale aufzuteilen, mit denen wir besser vertraut sind.

Die Identität, die wir verwenden werden, ist:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Dies erlaubt uns, unsere Gleichung als solche zu manipulieren:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Wir können jetzt unsere Regel erneut anwenden, um die cos ^ 2 (2x) in der Klammer zu beseitigen:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1 + 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Jetzt haben wir tatsächlich ein ziemlich einfaches Integrationsproblem. Wir können das Integral in unsere Klammer einfügen, so dass:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Jedes dieser Trig-Integrale wird mit der einfachen Regel behandelt, dass #int cos (Axt) dx = 1 / a sin (Axt) #.

Somit, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #