Finden Sie die maximale Höhe, die der Pohutukawa-Baum in cm erreichen soll?

Antworten:

Höhe nach 5 Jahren: 276 cm

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Maximale Höhe: 926 cm.

Erläuterung:

Das Wachstum des Baumes über n Jahre beträgt

# 86 + 42 * 0,95 ^ 0 + 42 * 0,95 ^ 1 +… + 42 * 0,95 ^ (n-1) #

#r = 0,95 #

#a = 42 #

Die Summe eines geometrischen Verlaufs ist

#S_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #,

Daher beträgt die Höhe in 5 Jahren 190,02 cm + die anfänglichen 86 cm = 276 cm.

Bearbeiten Ich sehe, dass Sie die Frage geändert haben, um nach der maximalen Höhe des Baums zu fragen. In diesem Fall die Formel

#S_n = a / (1-r) # kann somit verwendet werden

#42/(1-0.95) = 840#

Zu der ursprünglichen Höhe von 86 cm addiert sich 926 cm.

Antworten:

926 cm

Erläuterung:

Dies wird eine doppelte Überprüfung erfordern …

Der Baum beginnt bei 86 cm. Jahr 1 wird der Baum sein:

# 86cm + 42cm #

Das zweite Jahr wird der Baum sein # 86cm + 42cm + 42cm (.95) #

Im dritten Jahr wird der Baum sein # 86cm + 42cm + 42cm (.95) + 42cm (.95) (. 95) #

Das geht Jahr für Jahr weiter. Eines der Dinge, die wir tun können, ist, die 42 herauszufiltern, so dass unser Baum so aussieht:

# 86 cm + 42 cm (1 + (. 95) + (. 95) (. 95) + …) #

Alle diese (.95) Begriffe (auch die 1) können als Exponenten von (.95) geschrieben werden.

# 86 cm + 42 cm ((95) ^ 0 + (95) ^ 1 + (95) ^ 2 + … + (. 95) ^ n) #

Wenn Sie die Summe der (.95) exponentiellen Terme berechnen, erhalten Sie 20

# "_ 0 ^ oosum.95 ^ n = 20 # (Jemand bitte Notation / Mathematik überprüfen!)

Daher ist die maximale Höhe des Baums (H):

# H = 86 cm + 42 cm (20) = 926 cm #

Antworten:

# 926 "Zentimeter" #

Erläuterung:

# {: ("anfängliche Höhe (cm):", 86), ("Höhe nach 1 Jahr:", 86+ (42)), ("Höhe nach 2 Jahren:", 86+ (42) + (42 *) 0,95)), ("Höhe nach 3 Jahren:"), 86+ (42 * 0,95) + ((42 * 0,95) * 0,95)), (), ("Höhe nach" n "Jahren:", 86 + Sigma_ (y = 0) ^ n 42 * 0,95 ^ y):} #

Die allgemeine Formel für eine konvergierende geometrische Reihe lautet

#color (weiß) ("XXX") S = Sigma_ (i = 0) ^ oo ai = (a_0) / (1-r) #

woher # r # ist das übliche Verhältnis (Anmerkung zur Konvergenz) #abs (r) <1 #)

und # a_i # ist der # i ^ "th" # Begriff der Serie (mit # a_0 # der Anfangswert ist.

In diesem Fall # a_0 = 42 "cm." # und # r = 0,95 #

Die endgültige (maximale) Höhe wird also sein

#Farbe (weiß) ("XXX") S = 86 + (42 "cm") / (1-0,95) #

#Farbe (weiß) ("XXX") = 86 + (42 "cm") / (0,05) #

#Farbe (weiß) ("XXX") = 86 + 42 "cm" xx20 #

#Farbe (weiß) ("XXX") = 86 + 840 "cm" #

#Farbe (weiß) ("XXX") = 926 "cm" #