Wir haben ein halbes Zylinderdach mit dem Radius r und der Höhe r auf vier rechteckigen Wänden der Höhe h montiert. Wir haben 200 & mgr; m 2 Kunststoffplatte, die bei der Konstruktion dieser Struktur verwendet werden soll. Was ist der Wert von r, der die maximale Lautstärke zulässt?

Antworten:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Erläuterung:

Lassen Sie mich die Frage wiederholen, wenn ich sie verstehe.

Vorausgesetzt, die Fläche dieses Objekts ist # 200pi #, maximieren Sie die Lautstärke.

Planen

Wenn wir die Fläche kennen, können wir eine Höhe darstellen # h # als Funktion des Radius # r #dann können wir das Volumen als Funktion nur eines Parameters darstellen - dem Radius # r #.

Diese Funktion muss mit maximiert werden # r # als Parameter. Das gibt den Wert von # r #.

Fläche enthält:

4 Wände, die eine Seitenfläche eines Parallelepipeds mit einem Umfang einer Basis bilden # 6r # und Höhe # h #, die Gesamtfläche von haben # 6rh #.

1 Dach, Hälfte einer Seitenfläche eines Zylinders mit einem Radius # r # und Höhe # r #, das hat Fläche von #pi r ^ 2 #

2 Seiten des Daches, Halbkreis eines Radius # r #, deren Gesamtfläche ist #pi r ^ 2 #.

Die resultierende Gesamtfläche eines Objekts beträgt

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Zu wissen, dass dies gleich ist # 200pi #können wir ausdrücken # h # bezüglich # r #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Das Volumen dieses Objekts besteht aus zwei Teilen: Unter dem Dach und innerhalb des Daches.

Unter dem Dach befindet sich ein Parallelepiped mit der Grundfläche # 2r ^ 2 # und Höhe # h #das ist ihr Volumen

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

Innerhalb des Daches haben wir einen halben Zylinder mit Radius # r # und Höhe # r #, sein Volumen ist

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Wir müssen die Funktion maximieren

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

das sieht so aus (nicht maßstabsgerecht)

Graph {2x-0,6x ^ 3 -5,12, 5,114, -2,56, 2,56}

Diese Funktion erreicht ihr Maximum, wenn ihre Ableitung für ein positives Argument gleich Null ist.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

In der Gegend von #r> 0 # es ist gleich null wenn # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Dies ist der Radius, der unter Berücksichtigung der Oberfläche und der Form eines Objekts das größte Volumen ergibt.