T_n (x) ist das Chebyshev-Polynom vom Grad n. Der FCF cosh_ (cf) (T_n (x); T_n (x)) = cosh (T_n (x) + (T_n (x)) / cosh (T_n (x) + ...)), x> = 1. Wie beweisen Sie, dass der 18-sd-Wert dieser FCF für n = 2, x = 1,25 # 6.00560689395441650 ist?

Antworten:

Siehe die Erklärung und die supersokratischen Grafiken für diesen komplizierten FCF

Erläuterung:

y ist ein hyperbolischer Cosinuswert, und so #abs y> = 1 # und der FCF

Graph ist symmetrisch in Bezug auf die y-Achse.

# T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

Der FCF wird von generiert

# y = cosh (T_2 (x) (1 + 1 / y)) #

Ein diskretes Analogon zur Annäherung von y ist der nichtlineare Unterschied

Gleichung

# y_n = cosh ((2x ^ 2-1) (1 + 1 / y_ (n-1))) #.

Hier ist x = 1,25.

37 Iterationen mit Starter machen # y_0 = cosh (1) = 1,54308.. #, lange Präzision 18-sd y = 18-sd

# y_37 = 6.00560689395441650 #

mit # Deltay_36 = y_37-y_36 = 0 #für diese Präzision.

Graph {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) In (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) (x-1,25) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6)) ^ 2-.001) = 0 -2 2 0 10)}

Graph für 6-sd in y (1,25) = 6,00561:

Graph {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) In (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6) ^ 2-. 001) = 0 1,2499998 1.2500001 6.0056 6.00561}

Ich erwarte Anwendungen dieser Art von FCF im Computer

Annäherungen.

Beachten Sie, dass, obwohl es eine gerade Funktion ist, in der Mitte die

Graph fehlt, und dies ist Diskontinuität.