Eine Leiche wurde um 10 Uhr in einem Lagerhaus gefunden, in dem die Temperatur 40 ° F betrug. Der Untersuchungsarzt stellte fest, dass die Körpertemperatur 80 ° F betrug. Was war die ungefähre Todeszeit?

Antworten:

Ungefährer Zeitpunkt des Todes ist #8:02:24# bin

Es ist wichtig zu beachten, dass dies die Hauttemperatur des Körpers ist. Der ärztliche Prüfer würde die Innentemperatur messen, was viel langsamer abnehmen würde.

Erläuterung:

Das Newtonsche Kühlungsgesetz besagt, dass die Änderungsrate der Temperatur proportional zur Differenz zur Umgebungstemperatur ist. Ie

# (dT) / (dt) Stütze T - T_0 #

Ob #T> T_0 # dann sollte der Körper abkühlen, so dass die Ableitung negativ sein sollte, daher fügen wir die Proportionalitätskonstante ein und erreichen zu

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Die Klammer zu multiplizieren und die Dinge zu verschieben, bringt uns

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Kann jetzt die Integrationsfaktormethode zum Lösen von ODEs verwenden.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Beide Seiten mit multiplizieren #I (x) # bekommen

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Beachten Sie, dass wir die LHS mit der Produktregel umschreiben können.

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Binden Sie beide Seiten ein # t #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Teilen durch # e ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Durchschnittliche menschliche Körpertemperatur ist # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98,6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58,6 #

Lassen # t_f # sei die Zeit, zu der der Körper gefunden wird.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / (0,1947) #

#t_f = 1.96 Std. #

Vorausgesetzt, der Körper kühlte sich sofort ab, dauerte es 1,96 Stunden, um 80 ° F (80 ° F) zu erreichen, woraufhin er gefunden wurde.

# 1.96hr = 117.6min #

Ungefährer Zeitpunkt des Todes ist #8:02:24# bin