Vollständig vereinfachen: 1 - 2sin ^ 2 20 °?

Erinnere dich daran

#cos (2x) = 1 - 2sin ^ 2x #

Somit

#cos (40) = 1 - 2sin ^ 2 (20) #

Daher ist unser Ausdruck gleichbedeutend mit #cos (40) #.

Hoffentlich hilft das!

Antworten:

# 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ = cos 40 ^ circ #

Erläuterung:

"Ganz" ist ein trübes Ziel, wie wir sehen werden.

Zunächst geht es bei diesem Problem darum, die Sinusform der Cosinus-Doppelwinkelformel zu erkennen:

#cos (2 theta) = cos (theta + theta) = cos theta cos theta - sin theta sin theta ## = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta = (1- sin ^ 2 theta) - sin ^ 2 theta #

#cos (2 theta) = 1 - 2 sin ^ 2 theta #

Schreibe das für # theta = 20 ^ circ #, #cos (2 (20 ^ circ)) = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

#cos 40 ^ circ = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

Vermutlich #cos 40 ^ circ # ist das Ergebnis "völlig vereinfacht".

Das ist die Antwort. Monzur schlägt vor, vor dem nächsten Teil einen Vorbehalt zu machen. Es ist absolut optional. Lesen Sie bitte weiter, wenn Sie mehr darüber erfahren möchten #cos 40 ^ circ # und hör auf zu lesen, wenn du es nicht tust.

#cos 40 ^ circ # ist völlig vereinfacht, weil es nicht wirklich einen besseren Ausdruck gibt, den wir dafür aufschreiben können als #cos 40 ^ circ #. # 40 ^ circ # ist nicht mit Lineal und Kompass konstruierbar. Das heißt, seine Triggerfunktionen sind nicht das Ergebnis von Ganzzahlen, die sich aus Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division und Quadratwurzeln zusammensetzen.

#cos 40 ^ circ # ist eigentlich die Wurzel einer Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. # theta = 40 ^ circ # erfüllt die Gleichung #cos (44 theta) = - cos (46 theta) #. Ob #x = cos theta, # das ist #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x), # bei dem die # T #s sind die Chebyshev-Polynome der ersten Art. Anstelle der Doppel- und Dreifachwinkelformeln handelt es sich um die 44-fachen und 46-fachen Winkelformeln.

So #cos (40 ^ circ) # ist eine der sechsundvierzig Wurzeln von:

Xx 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 +454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984554544 x ^ 34 - + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 10 - 7038986450 x ^ 10 - 703898640 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 288892554538440 x 448 28889255454404 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Das ist gar nicht so einfach.