Lnx / 10 ^ x integrieren? - Infinitesimalrechnung 2025

Antworten:

Fehler

Erläuterung:

#int (lnx) / 10 ^ xdx # kann auch als geschrieben werden #int (lnx) xx10 ^ (- x) dx #.

Jetzt können wir die Formel für das Integral des Produkts verwenden

# intu * v * dx = u * v-int (v * du) #, woher # u = lnx #

Als solche haben wir # du = (1 / x) dx # und lass # dv = x ^ (- 10) dx # oder # v = x ^ (- 9) / - 9 #

Daher, # intu * v * dx = (- 1/9) Inx.x ^ (- 9) -int (x ^ (- 9) / - 9) * dx / x #, oder

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) intx ^ (- 10) * dx #

= # (- 1/9) Inx.x ^ (- 9) + (1/9) x ^ (- 9) / (- 9) + c #

= # (- 1/9) Lnx.x ^ (- 9) - (1/81) x ^ (- 9) + c #

= # -1 / 81 (x ^ (- 9)) (9lnx + 1) + c #

Antworten:

Es erscheint mir eine unendliche Serie.

Erläuterung:

Wir können die Formel für das Integral des Produkts mit zwei Funktionen verwenden #u (x) und v (x) #

# intucdotdv = ucdotv-int vcdotdu #

(Regel kann einfach durch Integration der Produktregel der Differenzierung abgeleitet werden)

Gegebenes Integral #intln (x) // 10 ^ xcdotdx # kann als geschrieben werden

#intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx #

Lassen # u = ln (x) und dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

aus erster annahme # du = 1 / x cdotdx #

von der zweiten Gleichheit # v = int 10 ^ -x cdot dx = -1 / ln 10 10 ^ -x + C #

Wir bekommen #intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx = ln (x) cdot (-1 / l1010 ^ -x + C) -t (-1 / ln1010 ^ -x + C) cdot 1 / xcdot dx #

Woher # C # ist eine Konstante der Integration.

# = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-intCcdot 1 / xcdot dx #

# = ln (x) cdot (-1 / ln1010 ^ -x + C) + int1 / ln1010 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-Ccdot ln | x | + C_2, #Vereinfachung

# = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x) + 1 / ln 10 int 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx + C_2 #

Es reduziert sich darauf, das Integral von zu finden # intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx #

Wieder unter Verwendung der obigen Integralformel

Lassen # u = x ^ -1 # und # dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

# du = -x ^ -2cdot dx # und wir haben bereits den Wert für # v #

# intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx = x ^ -1cdot (-1 / l1010 ^ -x + C) -t (-1 / ln1010 ^ -x + C) cdot (-x ^ -2cdot dx) #

Die Inspektion zeigt, dass sich herausstellt, dass es gefunden wird #int 10 ^ -xcdot x ^ -2cdot dx # und so weiter.
Funktion #ln (x) # ist nur für definiert #x> 0 #
Das Integral scheint unendlich seriell zu sein.

Antworten:

# (lny) (ln (ln_10y)) - lny = (lny) (ln (ln_10y) -1) #

Dann reinlegen # 10 ^ x # zum #y #

# (ln 10 ^ x) (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

Erläuterung:

Lassen # y = 10 ^ x #

# lny = ln10 ^ x #

# lny = x * ln10 #

# x = lny / ln10 = ln_10y = log_10exxlog_e y #

#:. dx = log_10exx1 / yxxdy #

#int (ln (ln_10 y)) / yxxlog_10exx1 / yxxdy #

# = int (ln (ln_10 y)) / y ^ 2xxlog_10exxdy; u = ln (ln_10 y) = ln (1 / ln10 * lny), dv = 1 / y #

# du = 1 / (ln y / ln10) * 1 / (yln10) = (ln10 / lny) (1 / (yln10)) = 1 / (ylny) #

# v = lny #

# uv-intvdu -> (ln (ln_10 y)) lny-intlny * 1 / (ylny) #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - int1 / y #

# (lny) (ln (ln_10y)) - lny = (lny) (ln_10y-1) #

Dann reinlegen # 10 ^ x # zum #y #

#ln 10 ^ x (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

#BEWEIS:#

# d / dy ((lny) (ln (ln_10 y) -1)) #

# f = lny, g = ln (ln_10 y) -1) #

# f '= 1 / y, g' = (1 / ln_10y) (1 / (yln10)) #

# fg '+ gf' #---> Produktregel

#lny * (1 / ln_10y) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

#lny (1 / (lny / ln10)) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# lny (ln10 / lny) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# 1 / y + (ln (ln_10y) -1) / y #

# ((1 + ln (ln_10y) -1)) / y #

# (ln (ln_10y)) / y #

#ln (x) / 10 ^ x #---># ln_10 y = x # von oben

Wie würden Sie int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx integrieren?

Dieses Integral existiert nicht. Da ln x> 0 im Intervall [1, e] ist, haben wir sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x hier, damit das Integral zu int_1 ^ e dx / {x ln x} wird. Ersetzen Sie ln x = u, dann ist dx / x = du, so dass int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ist. ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u Dies ist ein ungeeignetes Integral, da der Integrand an der unteren Grenze divergiert. Dies ist definiert als lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u, falls vorhanden. Nun ist int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l da dies in der Grenze l -> 0 ^ + divergiert, existiert das Integral nicht.

Wie integrieren Sie int sec ^ -1x durch Integration nach Parts-Methode?

Die Antwort ist = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C Wir brauchen (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^) 2-1)) intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) Integration durch Teile ist intu'v = uv-intuv 'Hier haben wir u' = 1, =>, u = xv = "arc "secx, =>, v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Daher ist int arcxxx = x arc * secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) Führen Sie das zweite Integral durch Substitution aus. Lassen Sie x = secu, =>, dx = secutanudu sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu ) / (tanu) = intsecudu = int (s

Wie integrieren Sie f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) unter Verwendung von Teilfraktionen?

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C Da der Nenner ist bereits faktorisiert, wir müssen nur Teilfraktionen für die Konstanten lösen: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Beachten Sie, dass wir sowohl einen x als auch einen konstanten Term für den ganz linken Bruch benötigen, da der Zähler immer um 1 Grad niedriger ist der Nenner. Wir könnten uns durch den Nenner auf der linken Seite multiplizieren, aber das wäre eine enorme Menge Arbeit, also können wir stattdesse