Wie würden Sie int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx integrieren?

Antworten:

Dieses Integral existiert nicht.

Erläuterung:

Schon seit #ln x> 0 # in der Pause # 1, e #, wir haben

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

hier, so dass das Integral wird

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Ersatz #ln x = u #, dann # dx / x = du # damit

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Dies ist ein ungeeignetes Integral, da der Integrand an der unteren Grenze divergiert. Dies ist definiert als

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

wenn das existiert Jetzt

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

da dies in der Grenze divergiert #l -> 0 ^ + #Das Integral existiert nicht.

Antworten:

# pi / 2 #

Erläuterung:

Das integrale # int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Ersetzen Sie zuerst # u = ln (x) # und # "d" u = ("d" x) / x #.

Also haben wir

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1 -u ^ 2) #

Jetzt ersatz # u = sin (v) # und # "d" u = cos (v) "d" v #.

Dann, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) dv = int_ (x = 1) ^ (x = e) "d" v # schon seit # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Wir machen weiter

# v _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) (x = 1) ^ (x = e) = Bögenin (ln (e)) - Bögenin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #