Was sind komplexe Zahlen? Danke.

Komplexe Zahlen sind Zahlen des Formulars # a + bi # woher #ein# und # b # sind reelle Zahlen und #ich# ist definiert als # i = sqrt (-1) #.

(Das obige ist eine grundlegende Definition komplexer Zahlen. Lesen Sie weiter, um mehr darüber zu erfahren.)

Ähnlich wie wir die Menge der reellen Zahlen als bezeichnen # RR #bezeichnen wir die Menge der komplexen Zahlen als # CC #. Beachten Sie, dass alle reellen Zahlen auch komplexe Zahlen sind, wie alle realen Zahlen # x # kann geschrieben werden als # x + 0i #.

Bei einer komplexen Anzahl # z = a + bi #sagen wir das #ein# ist der Realteil der komplexen Zahl (bezeichnet # "Re" (z) #) und # b # ist der Imaginärteil der komplexen Zahl (bezeichnet # "Im" (z) #).

Das Ausführen von Operationen mit komplexen Zahlen ähnelt dem Ausführen von Operationen mit Binomen. Gegeben zwei komplexe Zahlen # z_1 = a_1 + b_1i # und # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (merken # i = sqrt (-1) #)

# = (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((a_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Für die Spaltung haben wir das genutzt # (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Bei einer komplexen Anzahl # z = a + bi # wir nennen # a-bi # das komplexes Konjugat von # z # und bezeichne es #bar (z) # Es ist eine nützliche Eigenschaft (wie oben zu sehen) #zbar (z) # ist immer eine reelle Zahl.

Die komplexen Zahlen weisen viele nützliche Anwendungen und Attribute auf, aber eine, die oft schon früh anzutreffen ist, ist ihre Verwendung beim Faktorisieren von Polynomen. Wenn wir uns nur auf reelle Zahlen beschränken, kann ein Polynom wie # x ^ 2 + 1 # kann nicht weiter berücksichtigt werden, wenn wir jedoch komplexe Zahlen zulassen, dann haben wir dies # x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

Wenn wir komplexe Zahlen berücksichtigen, dann irgendein einvariables Polynom von Grad # n # kann als das Produkt von geschrieben werden # n # lineare Faktoren (möglicherweise mit einigen gleichen). Dieses Ergebnis ist bekannt als Grundsatz der Algebra, und, wie der Name schon sagt, ist Algebra sehr wichtig und hat eine breite Anwendung.