Wie lang ist die Leiter, wenn eine Leiter der Länge L horizontal um eine Ecke von einer 3 Fuß breiten Halle in eine 4 Fuß breite Halle getragen wird?

Betrachten Sie ein Liniensegment, von dem aus ausgeführt wird # (x, 0) # zu # (0, y) # durch die innere Ecke bei #(4,3)#.

Die minimale Länge dieses Liniensegments ist die maximale Länge der Leiter, die um diese Ecke manövriert werden kann.

Nehme an, dass # x # ist hinter #(4,0)# durch einen Skalierungsfaktor # s #von 4, so

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

achtet auf die # (1 + s) # Später als Wert, der aus etwas herausgerechnet werden soll.

Bei ähnlichen Dreiecken können wir das sehen

#y = 3 (1 + 1 / s) #

Mit dem Satz des Pythagoras können wir das Quadrat der Länge des Liniensegments als Funktion von ausdrücken # s #

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (-1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

Normalerweise würden wir die Ableitung von L (s) nehmen, um das Minimum zu finden, aber in diesem Fall ist es einfacher, die Ableitung von zu nehmen # L ^ 2 (s) #.

(Beachten Sie, dass wenn #L (s) # ist ein Minimum als # s = s_0 #, dann # L ^ 2 (s) # wird auch ein Minimum an sein # s = s_0 #.)

Die erste Ableitung von nehmen # L ^ 2 (s) # und wenn wir es auf Null setzen, erhalten wir:

# 3 ^ 2 (-2s ^ (- 3) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2s) = 0 #

Multiplizieren mit # s ^ 3 # und dann ausrechnen # 2 (1 + s) #

erlaubt uns zu lösen # s #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Stecken Sie diesen Wert wieder in die Gleichung für # L ^ 2 (s) # und wir nehmen die Quadratwurzel (ich habe eine Kalkulationstabelle verwendet)

die maximale leiterlänge # = 9,87 Fuß # (ungefähr)