Wie kann man r = 7 / (5-5costheta) in eine rechteckige Form umwandeln?

Antworten:

Das ist die seitliche Parabel # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

Erläuterung:

Dieses hier ist interessant, weil es nur divergiert. Das Minimum des Nenners ist Null. Es ist ein konischer Abschnitt; das nur divergente, denke ich, macht es zu einer Parabel. Das ist nicht besonders wichtig, aber es sagt uns, dass wir eine schöne algebraische Form ohne Triggerfunktionen oder Quadratwurzeln erhalten können.

Der beste Ansatz ist rückwärts; Wir verwenden polare zu rechteckigen Substitutionen, wenn der umgekehrte Weg direkter wäre.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

So # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Wir sehen #r> 0. # Wir beginnen mit dem Löschen der Fraktion.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

Wir haben ein #r cos theta # so das ist # x. #

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Unsere erste Beobachtung war #r> 0 # so quadrieren ist in Ordnung.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Jetzt wechseln wir wieder.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Technisch haben wir die Frage an dieser Stelle beantwortet und könnten hier aufhören. Aber es gibt noch Algebra, und am Ende hoffentlich eine Belohnung: Vielleicht können wir zeigen, dass dies tatsächlich eine Parabel ist.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

Graph {x = 1/70 (25y ^ 2-49) -17.35, 50, -30, 30}

Ja, das ist eine Parabel, gedreht # 90 ^ circ #von der üblichen Orientierung.

Check: Alpha-Augapfel