Was sind die Asymptoten und Löcher (falls vorhanden) von f (x) = xsin (1 / x)?

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Nun, da ist offensichtlich ein Loch # x = 0 #, seit der Trennung von #0# Ist nicht möglich.

Wir können die Funktion grafisch darstellen:

Graph {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Es gibt keine anderen Asymptoten oder Löcher.

Antworten:

#f (x) # hat ein Loch (entfernbare Diskontinuität) an # x = 0 #.

Es hat auch eine horizontale Asymptote # y = 1 #.

Es hat keine vertikalen oder schrägen Asymptoten.

Erläuterung:

Gegeben:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Ich werde einige Eigenschaften von verwenden #sin (t) #nämlich:

• #abs (sin t) <= 1 "" # für alle realen Werte von # t #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # für alle Werte von # t #.

Zuerst beachten Sie das #f (x) # ist eine gerade Funktion:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Wir finden:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

So:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Da das ist #0#so ist es #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Auch da #f (x) # ist sogar:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Beachten Sie, dass #f (0) # ist undefiniert, da es sich um eine Division durch handelt #0#, aber sowohl linke als auch rechte Grenzen sind vorhanden und stimmen überein # x = 0 #, so hat es dort ein Loch (entfernbare Diskontinuität).

Wir finden auch:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Ähnlich:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

So #f (x) # hat eine horizontale Asymptote # y = 1 #

Graph {x sin (1 / x) -2,5, 2,5, -1,25, 1,25}