Was ist das Kreuzprodukt von [2, -1,2] und [3, -1,2]?

Antworten:

Das Kreuzprodukt ist # (0i + 2j + 1k) # oder #<0,2,1>#.

Erläuterung:

Gegebene Vektoren # u # und # v #das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren, # uxxv # ist gegeben durch:

Woher

# uxxv = (u_2v_3-u_3v_2) veci- (u_1v_3-u_3v_1) vecj + (u_1v_2-u_2v_1) veck #

Dieser Prozess mag ziemlich kompliziert aussehen, ist aber in Wirklichkeit nicht so schlimm, wenn man einmal den Dreh raus hat.

Wir haben Vektoren #<2,-1,2># und #<3,-1,2>#

Das gibt ein # 3xx3 # Matrix in Form von:

Um das Kreuzprodukt zu finden, stellen Sie sich zunächst vor, dass Sie die #ich# Spalte (oder tatsächlich, wenn möglich), und nehmen Sie das Kreuzprodukt der # j # und # k # Spalten, ähnlich wie bei der Kreuzmultiplikation mit Proportionen. Im Uhrzeigersinn, beginnend mit der Zahl oben links, multiplizieren Sie die erste Zahl mit ihrer Diagonale und ziehen Sie dann das Produkt der zweiten Zahl und ihrer Diagonale von diesem Produkt ab. Das ist dein neues #ich# Komponente.

#(-1*2)-(2*-1)=-2-(-2)=0#

# => 0veci #

Stellen Sie sich jetzt vor, Sie sollen das vertuschen # j # Säule. Ähnlich wie oben, nimm das Kreuzprodukt von #ich# und # k # Säulen. Wie auch immer Ihre Antwort lautet, Sie werden es mit multiplizieren #-1#.

#-1(2*2)-(3*2)=2#

# => 2vecj #

Stellen Sie sich schließlich vor, das zu vertuschen # k # Säule. Nehmen Sie nun das Kreuzprodukt der #ich# und # j # Säulen.

#(2*-1)-(-1*3)=-2-(-3)=1#

# => 1veck #

Das Kreuzprodukt ist also # (0i + 2j + 1k) # oder #<0,2,1>#.