Wie verwendet man den Grenzvergleichstest für die Summe 1 / (n + sqrt (n)) für n = 1 bis n = oo?

Antworten:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # Divergen kann man dies durch Vergleich mit sehen #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Erläuterung:

Da diese Serie eine Summe positiver Zahlen ist, müssen wir entweder eine konvergente Serie finden #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # so dass #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # und schlussfolgern, dass unsere Serien konvergent sind, oder wir müssen eine solche divergente Serie finden #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # und schließen Sie unsere Serie auch als abweichend.

Wir bemerken Folgendes:

Zum

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

Deshalb

# n + sqrt (n) <= 2n #.

So

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Da ist das ja bekannt #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # divergiert so #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # divergiert auch, denn wenn es zusammenlaufen würde, dann # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # würde auch konvergieren, und das ist nicht der Fall.

Mit dem Vergleichstest sehen wir das nun #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # divergiert

Der Limitvergleichstest umfasst zwei Serien: # suma_n # und # sumb_n # woher #a_n> = 0 #, # b_ngt0 #.

Ob #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # woher #L> 0 # und ist endlich, dann konvergieren entweder beide Reihen oder beide Reihen divergieren.

Wir sollten es lassen # a_n = 1 / (n + sqrtn) #die Sequenz aus der angegebenen Serie. Eine gute # b_n # Wahl ist die überwältigende Funktion, die #ein# nähert sich als # n # wird groß. Also lass # b_n = 1 / n #.

Beachten Sie, dass # sumb_n # divergiert (es ist die harmonische Serie).

Wir sehen das also #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (narroo) n / (n + sqrtn) #. Fortsetzung durch Teilen durch # n / n #wird dies #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Da ist die Grenze #1#, welches ist #>0# und definiert sehen wir das # suma_n # und # sumb_n # divergieren oder konvergieren. Da wissen wir schon bei # sumb_n # Abweichungen können wir daraus schließen # suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # divergiert auch.