Antworten:
Die Serie läuft absolut zusammen.
Erläuterung:
Erste Bemerkung:
und
Daher wenn
Dies ist eine P-Serie mit
Daher konvergiert die Serie absolut:
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Wie können Sie anhand der Definition der Konvergenz beweisen, dass die Sequenz {2 ^ -n} von n = 1 bis unendlich geht?
Verwenden Sie die Eigenschaften der Exponentialfunktion, um N zu bestimmen, z. B. | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon für jedes m, n> N Die Definition der Konvergenz besagt, dass {a_n} konvergiert, wenn: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Wenn also epsilon> 0 ist, nimm n> log_2 (1 / epsilon) und m, n> N mit m <n As m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 so | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Nun ist 2 ^ x immer positiv, (1- 2 ^ (mn)) <1, also 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) Und als 2
Wie verwenden Sie den Integral Test, um die Konvergenz oder Divergenz der Reihe zu bestimmen: sum n e ^ -n von n = 1 bis unendlich?
Man nehme das Integral int_1 ^ ooxe ^ -xdx, das endlich ist, und beachte, dass es sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) begrenzt. Deshalb ist es konvergent, also ist auch sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n). Die formale Aussage des Integraltests besagt, dass wenn fin [0, oo) rightarrowRR eine monoton abnehmende Funktion ist, die nicht negativ ist. Dann ist die Summe sum_ (n = 0) ^ oof (n) genau dann konvergent, wenn "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx endlich ist. (Tau, Terence. Analyse I, zweite Auflage. Hindustanische Buchagentur. 2009). Diese Aussage mag etwas technisch erscheinen, aber die Idee ist die folgende. Wenn wir i
Wie finde ich die Konvergenz oder Divergenz dieser Serie? Summe von 1 bis unendlich von 1 / n ^ lnn
Es konvergiert Betrachten Sie die Reihe sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, wobei p> 1 ist. Beim p-Test konvergiert diese Serie. Nun ist 1 / n ^ lnn <1 / n ^ p für alle groß genug n, solange p ein endlicher Wert ist. Durch den direkten Vergleichstest konvergiert somit sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ lnn. Tatsächlich entspricht der Wert ungefähr 2,2381813.