Frage Nr. E8ab5

Antworten:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Erläuterung:

Erinnern Sie sich zuerst an was #cos (x + y) # ist:

#cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #

Beachten Sie, dass:

# (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 #

# -> sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

Und:

# (cosx + gemütlich) ^ 2 = b ^ 2 #

# -> cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Jetzt haben wir diese zwei Gleichungen:

# sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

# cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Wenn wir sie zusammenfügen, haben wir:

# sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y + cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = a ^ 2 + b ^ 2 #

Lassen Sie sich nicht durch die Größe dieser Gleichung abschrecken. Suchen Sie nach Identitäten und Vereinfachungen:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + (cos ^ 2y + sin ^ 2y) = a ^ 2 + b ^ 2 #

Schon seit # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (Pythagoräische Identität) und # cos ^ 2y + sin ^ 2y = 1 # (Pythagoräische Identität) können wir die Gleichung vereinfachen, um:

# 1 + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 1 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

Wir können ein ausfeilen #2# zweimal:

# 2 (sinxsiny + cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> 2 ((sinxsiny + cosxcosy) +1) = a ^ 2 + b ^ 2 #

Und teilen:

# (sinxsiny + cosxcosy) + 1 = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2 #

Und subtrahieren:

# sinxsiny + cosxcosy = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Endlich da #cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #, wir haben:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Gegeben

# sinx + siny = a ……. (1) #

# cosx + cosy = b ……. (2) #

Quadrieren und Hinzufügen von (1) und (2)

# (cosx + cosy) ^ 2 + (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2 (cosxcosy + sinxsiny) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 …. (3) #

Quadrieren und Subtrahieren (1) von (2)

# (cosx + cosy) ^ 2- (sinx + siny) ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos ^ 2x-sin ^ 2x + cos ^ 2y-sin ^ 2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos2x + cos2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + 2cos (x + y) cos (x-y) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => cos (x + y) (2 + 2cos (x-y)) = b ^ 2-a ^ 2 #

(# "Von (3)" 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 #)

# => cos (x + y) (2 + b ^ 2 + a ^ 2-2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => cos (x + y) (b ^ 2 + a ^ 2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #

Antworten:

#cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Erläuterung:

# sinx + siny = a rArr 2sin ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = a ……… (1) #.

# cosx + cosy = b rArr 2cos ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = b ………. (2) #.

Teilen #(1)# durch #(2)#, wir haben, #tan ((x + y) / 2) = a / b #.

Jetzt, #cos (x + y) = {1-tan ^ 2 ((x + y) / 2)} / {1 + tan ^ 2 ((x + y) / 2)} #

# = (1-a ^ 2 / b ^ 2) / (1 + a ^ 2 / b ^ 2) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Genießen Sie Mathe.!