Was bedeutet unbestimmte Form? Und wenn möglich eine Liste aller unbestimmten Formen?

Was bedeutet unbestimmte Form? Und wenn möglich eine Liste aller unbestimmten Formen?
Anonim

Zunächst gibt es keine unbestimmten Zahlen.

Es gibt Zahlen und Beschreibungen, die wie eine Zahl klingen, aber nicht.

"Die Nummer # x # das macht # x + 3 = x-5 #"ist so eine Beschreibung. Wie ist" Die Nummer #0/0#.'

Es ist am besten zu vermeiden, zu sagen (und zu denken), dass "#0/0# ist eine unbestimmte Zahl ".

Im Rahmen von Grenzen:

Beim Auswerten eines Grenzwerts einer Funktion, die durch eine algebraische Kombination von Funktionen "aufgebaut" wird, werden die Eigenschaften von Grenzwerten verwendet.

Hier sind einige der. Beachten Sie die am Anfang angegebene Bedingung.

Ob #lim_ (xrarra) f (x) # existiert und #lim_ (xrarra) g (x) # existiert

dann

#lim_ (xrarra) (f (x) + g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) (f (x) -g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) - lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) (f (x) g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) f (x) / g (x) = (lim_ (xrarra) f (x)) / (lim_ (xrarra) g (x)) # unter der Vorraussetzung, dass #lim_ (xrarra) g (x)! = 0 #

Beachten Sie auch, dass wir die Notation verwenden: #lim_ (xrarra) f (x) = oo # um anzuzeigen, dass das Limit NICHT EXISTIERT, aber wir erklären den Grund (als #xrarra, #f (x) steigt ohne Bindung an)

Wenn einer (oder beide) der Grenzwerte #lim_ (xrarra) f (x) # und #lim_ (xrarra) g (x) # Wenn es nicht existiert, ist die Form, die wir aus den Grenzwerteigenschaften erhalten, möglicherweise unbestimmt. Obwohl es nicht unbedingt unbestimmt ist.

Beispiel 1:

#f (x) = 2x + 3 #, und #g (x) = x ^ 2 + x #, und # a = 2 #

#lim_ (xrarr2) f (x) = 7 # und #lim_ (xrarr2) g (x) = 6 #.

Der Wert des Limits:

#lim_ (xrarr2) (f (x) + g (x)) # wird durch die Form der Summe bestimmt:

#lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) = 7 + 6 #

Beispiel 2

#f (x) = x + 3 + 1 / x ^ 2 #, und #g (x) = x ^ 2 + 7 + 1 / x ^ 2 #, und # a = 0 #

#lim_ (xrarr0) f (x) = oo # und #lim_ (xrarr0) g (x) = oo #.

Obwohl keine Begrenzung existiert, die Frage der Grenze:

#lim_ (xrarr0) (f (x) + g (x)) # wird durch die Form der Summe bestimmt:

#lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) = oo + oo = oo #

Die Notation sieht aus, als würden wir etwas sagen, was wir nicht sagen. Wir sagen nicht, dass Unendlichkeit eine Zahl ist, die wir uns selbst hinzufügen können, um Unendlichkeit zu erhalten.

Was wir sagen, ist:

die Grenze als # x # Ansätze #0# der Summe dieser beiden Funktionen existiert nicht, weil da #x rarr 0 #, beide #f (x) # und #g (x) # unbeschränkt zunehmen, daher nimmt auch die Summe dieser Funktionen unbeschränkt zu.

Beispiel 3: Für dasselbe Setup wie in Beispiel 2 betrachten Sie die Grenze der Differenz anstelle der Summe:

Ob #f (x) # und #g (x) # steigen uneingeschränkt als #x rarr 0 #Wir können daraus schließen, dass die Summe auch ohne Bindung steigt. Über den Unterschied können wir jedoch keine Schlussfolgerung ziehen.

#lim_ (xrarr0) (f (x) -g (x)) # wird NICHT durch die Form der Differenz bestimmt:

#lim_ (xrarra) f (x) - lim_ (xrarra) g (x) = oo - oo = "?" #

Zum # f-g # wir bekommen schließlich # - 4#, aber für #g - f # wir bekommen #+4#

Unbestimmte Formen von Grenzen umfassen:

#0/0#, # oo / oo #, # oo-oo #, # 0 * oo #, #0^0#, #oo ^ 0 #, # 1 ^ oo #

(Der letzte überraschte mich, bis ich es mir in Erinnerung hatte

#lim_ (xrarroo) (1 + 1 / x) ^ x = lim_ (xrarr0) (1 + x) ^ (1 / x) = e #)

Die Form # L / 0 # mit #L! = 0 # ist vielleicht "halbbestimmt". Wir wissen, dass das Limit nicht existiert und dass es aufgrund einiger zunehmender ODER-Abnahme ohne gebundenes Verhalten fehlschlägt, aber wir können nicht sagen, welches.