Warum ist lna - lnb = ln (a / b)?

Warum ist lna - lnb = ln (a / b)?
Anonim

Es ist egal, welche Basis wir verwenden, wenn für alle Logarithmen dieselbe Basis verwendet wird. Hier verwenden wir Bease # e #.

Lass uns definieren #ABC# wie folgt =:

# A = ln a iff a = e ^ A #, # B = ln b iff b = e ^ B #

# C = ln (a / b) iff a / b = e ^ C #

Aus der letzten Definition haben wir:

# a / b = e ^ C => e ^ C = (e ^ A) / (e ^ B) #

Und mit dem Gesetz der Indizes:

# e ^ C = (e ^ A) (e ^ -B) = e ^ (A-B) #

Und da das Exponential a ist #1:1# monotone stetige Funktion haben wir:

# C = A-B #

Und so:

# ln (a / b) = ln a - ln b # QED