Sei G eine zyklische Gruppe und G = 48. Wie findest du alle Untergruppen von G?

Antworten:

Die Untergruppen sind alle zyklisch, wobei sich die Aufträge teilen #48#

Erläuterung:

Alle Untergruppen einer zyklischen Gruppe sind selbst zyklisch mit Ordnungen, die Teiler der Ordnung der Gruppe sind.

Um zu sehen warum, nehmen wir an # G = <a> # ist mit Ordnung zyklisch # N # und #H sube G # ist eine Untergruppe.

Ob # a ^ m in H # und # a ^ n in H #ist es also # a ^ (pm + qn) # für beliebige Zahlen #p, q #.

So # a ^ k in H # woher #k = GCF (m, n) # und beide # a ^ m # und # a ^ n # sind in # <a ^ k> #.

Insbesondere wenn # a ^ k in H # mit #GCF (k, N) = 1 # dann #H = <a> = G #.

Auch nicht so #mn = N # dann # <a ^ m> # ist eine Untergruppe von #G# mit bestellen # n #.

Wir können ableiten:

• # H # hat nicht mehr als #1# Generator.
• Die Reihenfolge von # H # ist ein Faktor von # N #.

In unserem Beispiel #N = 48 # und die Untergruppen sind isomorph zu:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

Sein:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #