Zwei Seiten eines Dreiecks sind 6 m und 7 m lang und der Winkel zwischen ihnen nimmt mit einer Rate von 0,07 rad / s zu. Wie finden Sie die Geschwindigkeit, mit der die Fläche des Dreiecks zunimmt, wenn der Winkel zwischen den Seiten der festen Länge pi / 3 ist?

Die allgemeinen Schritte sind:

Zeichnen Sie ein Dreieck, das den angegebenen Informationen entspricht, und kennzeichnen Sie relevante Informationen
Bestimmen Sie, welche Formeln in der Situation sinnvoll sind (Fläche des gesamten Dreiecks basierend auf zwei Seiten mit fester Länge und Trigger-Beziehungen der rechten Dreiecke für die variable Höhe).
Beziehen Sie unbekannte Variablen (Höhe) wieder auf die Variable # (Theta) # das entspricht der einzigen angegebenen Rate # ((theta) / (dt)) #
Führen Sie einige Ersetzungen in einer "Haupt" -Formel (der Flächenformel) durch, damit Sie mit der angegebenen Rate vorhersehen können
Unterscheiden Sie und verwenden Sie die angegebene Rate, um die Rate zu finden, die Sie anstreben # ((dA) / (dt)) #

Lassen Sie uns die Informationen formell aufschreiben:

# (d theta) / (dt) = "0,07 rad / s" #

Dann haben Sie zwei Seiten mit fester Länge und einen Winkel zwischen ihnen. Die dritte Länge ist ein variabler Wert, technisch gesehen jedoch irrelevant. Was wir wollen, ist # (dA) / (dt) #. Es gibt jedoch keinen Hinweis darauf, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Gehen wir also davon aus, dass es nicht im Moment ist.

Ein theoretisch konsistentes Dreieck ist:

Beachten Sie, dass dies nicht proportional für das wahre Dreieck ist. Das Gebiet davon kann am einfachsten gefunden werden mit:

#A = (B * h) / 2 #

wo unsere Basis natürlich ist #6#. Was ist # h #obwohl? Wenn wir eine Trennlinie senkrecht vom Scheitelpunkt bis zur Basis zeichnen, haben wir automatisch ein rechtes Dreieck auf der linken Seite des Gesamtdreiecks. ungeachtet der Länge der Seite # x #:

Jetzt wir tun ein rechtwinkliges Dreieck haben. Beachten Sie jedoch, dass unsere Flächenformel gilt # h # aber nicht # theta #und wir wissen nur # (d theta) / (dt) #. Wir müssen also vertreten # h # in Bezug auf einen Winkel. Zu wissen, dass die einzige bekannte Seite des linken rechten Dreiecks das ist #7#gestreckte Seite:

#sintheta = h / 7 #

# 7sintheta = h #

Bisher haben wir:

# (d theta) / (dt) = "0,07 rad / s" # (1)

#A = (Bh) / 2 # (2)

# 7sintheta = Farbe (grün) (h) # (3)

Also können wir stecken (3) in (2)differenzieren (2) und implizit erwerben # (d theta) / (dt) #und stecker (1) in (2) zu lösen für # (dA) / (dt) #, unser Ziel:

#A = (6 * Farbe (grün) (7sintheta)) / 2 = 21sintheta #

#Farbe (blau) ((dA) / (dt)) = 21 costheta ((d theta) / (dt)) #

# = 21costheta ("0,07 rad / s") #

Endlich um #theta = pi / 3 #, wir haben #cos (pi / 3) = 1/2 # und:

# = 10,5 (0,07) = Farbe (blau) ("0,735 u" ^ 2 "/ s") #

(beachten Sie, dass #6*7# bedeutet die Einheiten werden # "u" * "u" = "u" ^ 2 #, und #2# ist keine Seitenlänge, also hatte es keine Einheiten. Ebenfalls, # "rad" # wird normalerweise als ausgelassen angesehen, d.h. # "rad / s" => "1 / s" #)

Die Höhe eines Dreiecks nimmt mit einer Geschwindigkeit von 1,5 cm / min zu, während die Fläche des Dreiecks mit einer Geschwindigkeit von 5 cm² / min zunimmt. Mit welcher Geschwindigkeit ändert sich die Basis des Dreiecks, wenn die Höhe 9 cm und die Fläche 81 cm 2 beträgt?

Hierbei handelt es sich um ein Problem, das mit der Rate der Änderungen (der Änderung) zusammenhängt. Die Variablen von Interesse sind a = Höhe A = Fläche, und da die Fläche eines Dreiecks A = 1 / 2ba ist, benötigen wir b = Basis. Die angegebenen Änderungsraten sind in Einheiten pro Minute angegeben, die (unsichtbare) unabhängige Variable ist also t = Zeit in Minuten. Wir sind gegeben: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm ^ 2 / min Und wir werden gebeten, (db) / dt zu finden, wenn a = 9 cm und A = 81 cm ^ 2 A = 1 / 2ba, differenzierend zu t erhalten wir: d / dt (A) = d / dt

Wasser tritt mit einer Geschwindigkeit von 10.000 cm3 / min aus einem umgekehrten konischen Tank aus, während Wasser mit einer konstanten Rate in den Tank gepumpt wird, wenn der Tank eine Höhe von 6 m hat und der Durchmesser an der Spitze 4 m beträgt Wenn der Wasserstand bei einer Höhe von 2 m um 20 cm / min ansteigt, wie finden Sie die Geschwindigkeit, mit der das Wasser in den Tank gepumpt wird?

Sei V das Volumen des Wassers in dem Tank in cm 3; h sei die Tiefe / Höhe des Wassers in cm; und sei r der Radius der Wasseroberfläche (oben) in cm. Da der Tank ein umgekehrter Kegel ist, ist dies auch die Wassermasse. Da der Tank eine Höhe von 6 m und einen Radius am oberen Rand von 2 m hat, implizieren ähnliche Dreiecke, dass frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 ist, so dass h = 3r ist. Das Volumen des umgekehrten Wasserkegels ist dann V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Unterscheiden Sie nun beide Seiten bezüglich der Zeit t (in Minuten), um frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} z

Ein Dreieck hat die Seiten A, B und C. Wenn der Winkel zwischen den Seiten A und B (pi) / 6 ist, ist der Winkel zwischen den Seiten B und C (5 pi) / 12 und die Länge von B ist 2 die Fläche des Dreiecks?

Fläche = 1.93184 quadratische Einheiten Zuerst lassen Sie mich die Seiten mit den Kleinbuchstaben a, b und c bezeichnen. Lassen Sie mich den Winkel zwischen den Seiten "a" und "b" mit / _ C, den Winkel zwischen den Seiten "b" und "c" benennen. / _ A und Winkel zwischen Seite "c" und "a" von / _ B. Hinweis: - Das Vorzeichen / _ wird als "Winkel" gelesen. Wir werden mit / _C und / _A angegeben. Wir können / _B berechnen, indem wir die Tatsache verwenden, dass die Summe der inneren Engel aller Dreiecke Pi Radian ist. impliziert / _A + / _ B + / _