Frage Nr. C7520

Antworten:

Verwenden Sie die Doppelwinkelidentität für Sinus und den Einheitskreis, um Lösungen von zu finden # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, und # (3pi) / 2 #.

Erläuterung:

Erstens verwenden wir die wichtige Identität # sin2theta = 2sinthetacostheta #:

# sin2theta-costheta = 0 #

# -> 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

Jetzt können wir ausrechnen # costheta #:

# 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

# -> Costheta (2sintheta-1) = 0 #

Und mit der Zero-Product-Eigenschaft erhalten wir Lösungen von:

# costheta = 0 "und" 2sintheta-1 = 0-> sintheta = 1/2 #

Also wann # costheta = 0 # auf dem Intervall # -pi / 2 <= Theta <= (3pi) / 2 #? Die Lösungen können mithilfe des Einheitskreises und einer Eigenschaft der Cosinusfunktion gefunden werden:

#cos (-theta) = costheta #

Ob # theta = pi / 2 #, dann:

#cos (-pi / 2) = cos (pi / 2) #

Aus dem Einheitskreis wissen wir das #cos (pi / 2) = 0 #was auch bedeutet #cos (-pi / 2) = 0 #; also zwei lösungen # -pi / 2 # und # pi / 2 #. Das sagt uns auch der Einheitskreis #cos ((3pi) / 2) = 0 #Wir haben also eine andere Lösung.

Jetzt auf # sintheta = 1/2 #. Wieder brauchen wir den Einheitskreis, um unsere Lösungen zu finden.

Das wissen wir aus dem Einheitskreis #sin (pi / 6) = 1/2 #, und #sin ((5pi) / 6) = 1/2 #fügen wir hinzu # pi / 6 # und # (5pi) / 6 # zur Liste der Lösungen.

Zum Schluss stellen wir alle unsere Lösungen zusammen: # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, und # (3pi) / 2 #.

Der Einheitskreis