Zwei Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks liegen bei (1, 3) und (9, 4). Wenn die Fläche des Dreiecks 64 beträgt, wie lang sind die Seiten des Dreiecks?

Antworten:

Die Längen der Seiten des Dreiecks sind:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Erläuterung:

Der Abstand zwischen zwei Punkten # (x_1, y_1) # und # (x_2, y_2) # wird durch die Entfernungsformel gegeben:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Also die Entfernung zwischen # (x_1, y_1) = (1, 3) # und # (x_2, y_2) = (9, 4) # ist:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

Das ist eine irrationale Zahl etwas größer als #8#.

Wenn eine der anderen Seiten des Dreiecks dieselbe Länge hätte, wäre die maximal mögliche Fläche des Dreiecks:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Das kann also nicht der Fall sein. Stattdessen müssen die beiden anderen Seiten gleich lang sein.

Gegeben ein Dreieck mit Seiten # a = sqrt (65), b = t, c = t #können wir Herons Formel verwenden, um sein Gebiet zu finden.

Die Reiherformel sagt uns, dass die Fläche eines Dreiecks mit Seiten ist #a, b, c # und halber Umfang #s = 1/2 (a + b + c) # ist gegeben durch:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

In unserem Fall ist der Halbumfang:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

und Herons Formel sagt uns, dass:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#Farbe (weiß) (64) = 1/2 (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Multipliziere beide Enden mit #2# bekommen:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Platziere beide Seiten, um zu erhalten:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Beide Seiten mit multiplizieren #4/65# bekommen:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transponieren und hinzufügen #65/4# zu beiden Seiten zu bekommen:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Nehmen Sie die positive Quadratwurzel von beiden Seiten, um zu erhalten:

#t = sqrt (266369/260) #

Die Längen der Seiten des Dreiecks sind also:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Alternative Methode

Anstatt Herons Formel zu verwenden, können wir wie folgt argumentieren:

Angenommen, die Basis des gleichschenkligen Dreiecks ist lang:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Die Gegend ist # 64 = 1/2 "Basis" xx "Höhe" #

Die Höhe des Dreiecks ist also:

# 64 / (1/2 Quadrat (65)) = 128 / Quadrat (65) = (128 Quadratmeter (65)) / 65 #

Dies ist die Länge der senkrechten Winkelhalbierenden des Dreiecks, die durch den Mittelpunkt der Basis verläuft.

Die anderen beiden Seiten bilden also die Hypotenusen zweier rechtwinkliger Dreiecke mit Beinen #sqrt (65) / 2 # und # (128sqrt (65)) / 65 #

Nach Pythagoras ist jede dieser Seiten von Länge:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sq (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #