Antworten:
#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
# = arctan ((x-1) / 2) -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) #
Erläuterung:
#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
=# -int (3x-5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
=# -int (3x-3-2) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
=# -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #+#int 2 / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
=#int 2 / ((x-1) ^ 2 + 4) * dx #-# 3 / 2int (2x-2) / (x ^ 2-2x + 5) #
=# Arctan ((x-1) / 2) -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) #
Antworten:
# = - 3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C #
Erläuterung:
#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = int (-3x + 5-2 + 2) / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = int (-3x + 3) / (x ^ 2-2x + 5) + 2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = - int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx + int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #
Zum:
# -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx #
Verwenden Sie die Vertretung:
# u = x ^ 2-2x + 5 #
#implies du = 2x-2dx impliziert 3 / 2du = 3x-3dx #
#vorhin -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx = -int (3/2) / udu = -3 / 2ln (u) + C #
Die Ersetzung umkehren:
# -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + C #
Nun zum anderen Integral:
# int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #
Schreiben Sie den Nenner in ausgefüllter quadratischer Form:
# x ^ 2-2x + 5 = (x-1) ^ 2 - (-1) ^ 2 + 5 = (x-1) ^ 2 + 4 #
So:
# int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx = 2 intdx / ((x-1) ^ 2 + 4) #
Jetzt ersetzen:
# 2u = (x-1) #
#implies du = 2dx # So:
# 2intdx / ((x-1) ^ 2 + 4) = 2int2 / (4u ^ 2 + 4) du = 4 / 4int1 / (u ^ 2 + 1) du #
Was wir erkennen, integriert sich einfach in inverse Tangente und gibt uns:
# = tan ^ -1 (u) + C '#
Die Ersetzung umkehren:
# = tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C '#
Daher ist das "Etwas":
#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = - int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx + int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = - 3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C #
