Das Dreieck A hat eine Fläche von 12 und zwei Seiten der Längen 4 und 8. Das Dreieck B ähnelt dem Dreieck A und hat eine Seite der Länge 7. Was sind die maximal und minimal möglichen Flächen des Dreiecks B?

Antworten:

#A_ "Bmin" ~~ 4.8 #

#A_ "Bmax" = 36.75 #

Erläuterung:

Zunächst müssen Sie die Seitenlängen für das maximale Dreieck A ermitteln, wenn die längste Seite größer als 4 und 8 ist und das kleinste Dreieck, wenn 8 die längste Seite ist.

Um dies zu tun Verwenden Sie die Heron's Area-Formel: #s = (a + b + c) / 2 # woher #a, b & c # sind die Seitenlängen des Dreiecks:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Lassen #a = 8, b = 4 "&" c "ist unbekannte Seitenlängen" #

#s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)) #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c)) #

Quadrat auf beiden Seiten:

# 144 = (6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c) #

Ziehen Sie eine 1/2 von jedem Faktor heraus:

# 144 = 1/16 (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

Vereinfachen:

# 2304 = (12 + c) (4 + c) (-4 + c) (12-c) #

# 2304 = (48 + 8c - c ^ 2) (- 48 + 8c + c ^ 2) #

# 2304 = -2304 + 384c + 48c ^ 2 - 384c + 64c ^ 2 + 8c ^ 3 + 48c ^ 2-8c ^ 3-c ^ 4 #

# c ^ 4 - 160c ^ 2 + 4608 = 0 #

*Ersatz #x = c ^ 2 *: "" x ^ 2 -160x + 4608 = 0 #

Verwenden Sie das Quadrat ausfüllen:

# (x ^ 2-160x) = -4608 #

# (x - 160/2) ^ 2 = -4608 + (-160/2) ^ 2 #

# (x-80) ^ 2 = 1792 #

Quadratwurzel auf beiden Seiten:

# x-80 = + -sqrt (1792) #

#x = 80 + - (16) sqrt (16) sqrt (7) #

#x = 80 + -16 sqrt (7) #

Ersatz # c ^ 2 = x #:

# c ^ 2 = 80 + -16 sqrt (7) #

#c = + - sqrt (80 + -16 sqrt (7)) #

Da Dreieckseitenlängen positiv sind, müssen wir die negativen Antworten ignorieren:

Minimale und maximale Seitenlänge des Dreiecks A:

#c = sqrt (80 + -16 sqrt (7)) ~~ 6.137, 11.06 #

Schon seit Die Fläche der Dreiecke ist proportional zum Quadrat der Seitenlängen Wir können die maximalen und minimalen Flächen des Dreiecks B ermitteln:

# A_B / A_A = (7/4) ^ 2; A_B = (7/4) ^ 2 * 12 = 36,75 #

# A_B / A_A = (7/8) ^ 2; A_B = (7/8) ^ 2 * 12 = 9,1875 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 11.06) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 11.06) ^ 2 * 12 ~~ 4,8 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 6.137) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 6.137) ^ 2 * 12 ~~ 15.6 #

#A_ "Bmin" ~~ 4.8 #

#A_ "Bmax" = 36.75 #