Sei P ein beliebiger Punkt auf der Kegelform r = 12 / (3-sin x). Sei F¹ und F² die Punkte (0, 0 °) bzw. (3, 90 °). Zeigen Sie, dass PF¹ und PF² = 9?

Antworten:

#r = 12 / {3-sin theta} #

Wir werden gebeten zu zeigen # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #d.h. # P # fegt eine Ellipse mit Brennpunkten heraus # F_1 # und # F_2. # Siehe den Beweis unten.

Erläuterung:

Lassen Sie uns reparieren, was ich vermute, ist ein Tippfehler und sagen #P (r, Theta) # befriedigt

#r = 12 / {3-sin theta} #

Der Bereich von Sinus ist #pm 1 # so schließen wir # 4 le r le 6. #

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

In rechteckigen Koordinaten # P = (r cos theta, r sin theta) # und # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | r-9 | #

# | PF_2 | = 9-r quad # da wissen wir schon # 4 le r le 6. #

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 Quadrate #