Frage # 6bd6c

Antworten:

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Erläuterung:

#f (x) = x ^ 3-x # ist eine ungerade Funktion. Es prüft #f (x) = -f (-x) #

so # int_-1 ^ 1f (x) dx = int_-1 ^ 0f (x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1f (-x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1 (f (x) + f (-x)) dx = 0 #

Antworten:

# int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 0 #

Es könnte sich um den Bereich handeln, aber die Funktion behält kein konstantes Vorzeichen zwischen #x in -1,1 #. Auch wegen der Symmetrie in # x = 0 # Wenn sich das Intervall um die Hälfte verkürzt, heben sich die Bereiche auf und zerstören den Bereich.

Erläuterung:

Geometrisch entspricht das Integral einer Funktion nur einer Variablen einer Fläche. Die Geometrie legt jedoch nahe, dass die Funktion mit dem kleineren Wert von der Funktion mit dem höheren Wert abgezogen wird, damit die Fläche nicht negativ ist. Genauer gesagt für zwei Funktionen #f (x) # und #g (x) # der Bereich zwischen den beiden Diagrammen in # a, b # ist:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Das heißt, man muss wissen, welcher der folgenden Fälle tatsächlich zutrifft:

#f (x)> g (x) #

#f (x) <g (x) #

Wenn Sie nun Ihre Funktion betrachten, finden Sie das Zeichen für den Unterschied zwischen diesen Funktionen:

# x ^ 3-x = 0 #

#x (x ^ 2-1) = 0 #

#x (x-1) (x + 1) = 0 #

Wir sehen das für den gegebenen Bereich von #-1,1# dass die Übung Ihnen gibt, ändert sich das Vorzeichen tatsächlich von positiv zu negativ # x = 0 #. Daher repräsentiert dieses bestimmte Integral die Fläche NICHT. Die tatsächliche Fläche ist:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3-x) dx-int_0 ^ 1 (x ^ 3-x) dx #

Da der Bereich von 0 bis 1 negativ sein würde, fügen Sie einfach ein Minuszeichen hinzu, damit es sich addiert. Wenn Sie die Integrale lösen:

# A = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 0- x ^ 4/4-x ^ 2/2 _0 ^ 1 #

# A = 1/4 - (- 1/4) #

#Α=2/4#

Beachten Sie, dass die beiden Integrale den gleichen Wert ergeben? Das liegt an der Symmetrie der Funktion, die dazu führt, dass Ihr Integral negativ ist.

Um zusammenzufassen:

Ihr Integral ist gleich:

# int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 1 = 1 / 4-1 / 4 = 0 #

Der Bereich der Funktion würde, wenn gefragt, sein:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3-x) dx-int_0 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 1/4 + 1/4 = 2/4 #

Daher kann es an einen Bereich erinnern, aber das Integral, das Sie erhalten, stellt KEINEN Bereich dar (Sie könnten dies von Anfang an wissen, da ein Bereich nicht 0 sein kann). Das einzige geometrische Ergebnis, das erhalten werden könnte, wäre die Symmetrie der Funktion. Für die Symmetrieachse # x = 0 # die symmetrischen Werte von # x # #-1# und #+1# ergeben gleiche Flächen, so dass die Funktion höchstwahrscheinlich symmetrisch ist. Die grafische Darstellung der beiden Funktionen in demselben Arbeitsblatt ist tatsächlich symmetrisch: