Das Polynom vom Grad 5, P (x) hat den Leitkoeffizienten 1, hat Wurzeln der Multiplizität 2 bei x = 1 und x = 0 und eine Wurzel der Multiplizität 1 bei x = -3. Wie finden Sie eine mögliche Formel für P (x)?

Antworten:

#P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Erläuterung:

Jede Wurzel entspricht einem linearen Faktor, so dass wir schreiben können:

#P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 3) #

# = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) #

# = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Jedes Polynom mit diesen Nullen und mindestens diese Multiplizitäten ist ein Vielfaches (Skalar oder Polynom) davon #P (x) #

Fußnote

Genau genommen ein Wert von # x # das ergibt in #P (x) = 0 # heißt a Wurzel von #P (x) = 0 # oder ein Null von #P (x) #. Die Frage hätte also wirklich über das sprechen sollen Nullen von #P (x) # oder über die Wurzeln von #P (x) = 0 #.