Das Polynom vom Grad 5, P (x) hat den Leitkoeffizienten 1, hat Wurzeln der Multiplizität 2 bei x = 1 und x = 0 und eine Wurzel der Multiplizität 1 bei x = -3. Wie finden Sie eine mögliche Formel für P (x)?

Antworten:

#P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Erläuterung:

Jede Wurzel entspricht einem linearen Faktor, so dass wir schreiben können:

#P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 3) #

# = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) #

# = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Jedes Polynom mit diesen Nullen und mindestens diese Multiplizitäten ist ein Vielfaches (Skalar oder Polynom) davon #P (x) #

Fußnote

Genau genommen ein Wert von # x # das ergibt in #P (x) = 0 # heißt a Wurzel von #P (x) = 0 # oder ein Null von #P (x) #. Die Frage hätte also wirklich über das sprechen sollen Nullen von #P (x) # oder über die Wurzeln von #P (x) = 0 #.

Das Polynom vom Grad 4, P (x), hat eine Wurzel der Multiplizität 2 bei x = 3 und Wurzeln der Multiplizität 1 bei x = 0 und x = -3. Es geht durch den Punkt (5.112). Wie findest du eine Formel für P (x)?

Ein Polynom mit Grad 4 hat die Wurzelform: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Ersetzen Sie die Werte durch die Wurzeln und verwenden Sie dann den Punkt, um den Wert zu finden von k. Ersetzen Sie in den Werten für die Wurzeln: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Verwenden Sie den Punkt (5,112), um den Wert von k zu ermitteln: 112 = k (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 Die Wurzel des Polynoms lautet: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

Das Polynom vom Grad 5, P (x) hat den Leitkoeffizienten 1, hat Wurzeln der Multiplizität 2 bei x = 1 und x = 0 und eine Wurzel der Multiplizität 1 bei x = -1. Finden Sie eine mögliche Formel für P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Da wir eine Wurzel der Multiplizität 2 bei x = 1 haben, wissen wir, dass P (x) einen Faktor (x-1) ^ hat 2 Da wir eine Wurzel der Multiplizität 2 bei x = 0 haben, wissen wir, dass P (x) einen Faktor x ^ 2 hat. Da wir eine Wurzel der Multiplizität 1 bei x = -1 haben, wissen wir, dass P (x) hat einen Faktor x + 1 Wir geben an, dass P (x) ein Polynom vom Grad 5 ist, und haben daher alle fünf Wurzeln und Faktoren identifiziert, sodass wir P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 Deshalb können wir schreiben: P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Wir wissen auch, dass der f

Das Polynom vom Grad 5, P (x), hat den führenden Koeffizienten 1, hat Wurzeln der Multiplizität 2 bei x = 3 und x = 0 und eine Wurzel der Multiplizität 1 bei x = -1.

P (x) = x ^ 5-5x ^ 4 + 3x ^ 3 + 9x ^ 2> "gegeben mit" x = a "ist eine Wurzel eines Polynoms, dann ist" (xa) "ein Faktor des Polynoms" "wenn" x = a "von Multiplizität 2, dann ist (xa) ^ 2" ein Faktor des Polynoms. "Hier" x = 0 "Multiplizität 2" rArrx ^ 2 "ist ein Faktor. Auch" x = 3 "Multiplizität 2. rArr (x-3) ^ 2 "ist ein Faktor" "und" x = -1 "Multiplizität 1" rArr (x + 1) "ist ein Faktor" "das Polynom ist das Produkt seiner Faktoren" P (x) = " x ^ 2 (x-3) ^ 2 (