Wie können Sie die binomiale Reihe verwenden, um sqrt (1 + x) zu erweitern?

Antworten:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = Summe (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # mit #x in CC #

Verwenden Sie die Verallgemeinerung der Binomialformel für komplexe Zahlen.

Erläuterung:

Es gibt eine Verallgemeinerung der Binomialformel auf die komplexen Zahlen.

Die allgemeine binomische Reihenformel scheint zu sein # (1 + z) ^ r = Summe ((r) _k) / (k!) Z ^ k # mit # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (laut Wikipedia). Wenden wir es auf Ihren Ausdruck an.

Dies ist eine Power-Serie, also offensichtlich, wenn wir die Chance haben wollen, dass dies nicht divergiert, müssen wir uns setzen #absx <1 # und so erweitern Sie #sqrt (1 + x) # mit der binomialen serie.

Ich werde nicht zeigen, dass die Formel wahr ist, aber es ist nicht zu schwer, man muss nur sehen, dass die komplexe Funktion von definiert ist # (1 + z) ^ r # Ist holomorph auf der Einheitsscheibe, berechnen Sie jede Ableitung davon auf 0, und Sie erhalten die Taylor-Formel der Funktion. Das heißt, Sie können sie als Potenzreihe auf der Einheitsscheibe entwickeln, weil #absz <1 #daher das Ergebnis.

Verwenden Sie +, -,:, * (Sie müssen alle Zeichen verwenden und Sie dürfen eines davon zweimal verwenden; Sie dürfen auch keine Klammern verwenden), machen Sie den folgenden Satz: 9 2 11 13 6 3 = 45?

9-2 * 11 + 13: 6 * 3 = 45 9-2 * 11 + 13: 6 * 3 = 45 Wird dies der Herausforderung gerecht?

Sie müssen ein 5-stelliges Passwort für ein Konto auswählen. Sie können die Ziffern 0-9 oder die Kleinbuchstaben a-z verwenden. Sie können Ziffern oder Buchstaben wiederholen. Wie viele mögliche Passwörter gibt es?

36 ^ 5 Da die Ziffern zehn und die Buchstaben sechsundzwanzig sind, haben wir insgesamt sechsunddreißig mögliche Zeichen. Sie können Charaktere wiederholen, so dass jeder Ort unabhängig von den Inhalten der anderen ist. Dies bedeutet, dass Sie 36 Optionen für den Charakter an erster Stelle, 36 für die zweite usw. haben. Dies bedeutet insgesamt 36 * 36 * 36 * 36 * 36, also 36 ^ 5.

Wie können Sie die binomiale Reihe verwenden, um sqrt (z ^ 2-1) zu erweitern?

Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] Ich würde gerne mal nachprüfen, weil ich als Physikstudent selten bin jenseits von (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx für kleines x, deshalb bin ich ein bisschen verrostet. Die Binomialreihe ist ein spezialisierter Fall des Binomialsatzes, der besagt, dass (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k Mit ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) Was wir haben, ist (z ^ 2-1) ^ (1/2) Dies ist nicht die richtige Form. Um dies zu korrigieren, sei daran erinnert, dass i ^ 2 = -1, so dass wir haben: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2)