Wie können Sie die binomiale Reihe verwenden, um sqrt (z ^ 2-1) zu erweitern?

Antworten:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Erläuterung:

Ich würde gerne mal nachschauen, weil ich als Physikstudent selten darüber hinaus komme # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # für kleines x also bin ich ein bisschen rostig. Die Binomialreihe ist ein Spezialfall des Binomialsatzes, der das besagt

# (1 + x) ^ n = Summe_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

Mit # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Was wir haben ist # (z ^ 2-1) ^ (1/2) #Dies ist nicht die richtige Form. Um dies zu korrigieren, erinnern Sie sich daran # i ^ 2 = -1 # also haben wir:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Dies ist jetzt in der richtigen Form mit #x = -z ^ 2 #

Daher ist die Erweiterung:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #