Was ist das Orthozentrum eines Dreiecks mit Ecken bei (4, 9), (7, 4) und (8, 1) #?

Was ist das Orthozentrum eines Dreiecks mit Ecken bei (4, 9), (7, 4) und (8, 1) #?
Anonim

Antworten:

Orthozentrum: #(43,22)#

Erläuterung:

Das Orthozentrum ist der Schnittpunkt für alle Höhen des Dreiecks. Wenn wir die drei Koordinaten eines Dreiecks erhalten, können wir Gleichungen für zwei Höhenlagen finden und dann herausfinden, wo sie sich schneiden, um das Orthozentrum zu erhalten.

Lass uns anrufen #Farbe (rot) ((4,9) #, #Farbe (blau) ((7,4) #, und #Farbe (grün) ((8,1) # Koordinaten #color (rot) (A #,# Farbe (blau) (B #, und #color (grün) (C # beziehungsweise. Wir finden Gleichungen für Linien #color (Purpur) (AB # und #color (Kornblumenblau) (BC #. Um diese Gleichungen zu finden, benötigen wir einen Punkt und eine Steigung. (Wir werden die Punktneigungsformel verwenden).

Hinweis: Die Steigung der Höhe ist senkrecht zur Steigung der Linien. Die Höhe berührt eine Linie und den Punkt, der außerhalb der Linie liegt.

Lasst uns zuerst anpacken #color (Purpur) (AB #:

Steigung: #-1/({4-9}/{7-4})=3/5#

Punkt: #(8,1)#

Gleichung: # y-1 = 3/5 (x-8) -> Farbe (Purpur) (y = 3/5 (x-8) + 1 #

Dann lass uns finden #color (Kornblumenblau) (BC #:

Steigung: #-1/({1-4}/{8-7})=1/3#

Punkt: #(4,9)#

Gleichung: # y-9 = 1/3 (x-4) -> Farbe (Kornblumenblau) (y = 1/3 (x-4) + 9 #

Jetzt setzen wir einfach die Gleichungen zueinander und die Lösung wäre das Orthozentrum.

#Farbe (Purpur) (3/5 (x-8) +1) = Farbe (Kornblumenblau) (1/3 (x-4) + 9 #)

# (3x) / 5-24 / 5 + 1 = (x) / 3-4 / 3 + 9 #

# -24 / 5 + 1 + 4 / 3-9 = (x) / 3- (3x) / 5 #

# -72 / 15 + 15/15 + 20 / 15-135 / 15 = (5x) / 15- (9x) / 15 #

# -172 / 15 = (- 4x) / 15 #

#color (darkmagenta) (x = -172 / 15 * -15 / 4 = 43 #

Stecken Sie die # x #-Wert zurück in eine der ursprünglichen Gleichungen, um die y-Koordinate zu erhalten.

# y = 3/5 (43-8) + 1 #

# y = 3/5 (35) + 1 #

#Farbe (Koralle) (y = 21 + 1 = 22 #

Orthozentrum: # (Farbe (darkmagenta) (43), Farbe (Koralle) (22)) #