Warum können Sie nicht Null zur Macht von Null haben?

Das ist eine wirklich gute Frage. Im Allgemeinen und in den meisten Situationen definieren Mathematiker #0^0 = 1#.

Aber das ist die kurze Antwort. Diese Frage wurde seit der Zeit von Euler (d. H. Hunderte von Jahren) diskutiert.

Wir wissen, dass jede Zahl, die ungleich Null ist, zum #0# Macht ist gleich #1 #

# n ^ 0 = 1 #

Und die auf eine Zahl ungleich Null erhöhte Null ist gleich #0#

# 0 ^ n = 0 #

Irgendwann #0^0# ist als unbestimmt definiert, das heißt in manchen Fällen scheint es gleich zu sein #1# und andere #0.#

Zwei Quellen, die ich verwendet habe, sind:

www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-multiply-and-divide/cc-7th-exponents-negative-base/v/powers-of- Null

Nun, du hättest es irgendwie können #0^0#. In der Regel verlassen Mathematiker #0^0# nicht definiert. Es gibt drei Überlegungen, die dazu führen können, dass jemand eine Definition setzt #0^0#.

Das Problem (wenn es ein Problem ist) ist, dass sie sich nicht darüber einig sind, wie die Definition sein soll.

Überlegung 1:

Für eine beliebige Anzahl # p # außer #0#, wir haben # p ^ 0 = 1 #.

Dies ist eigentlich eine Definition dessen, was der Null-Exponent bedeutet. Diese Definition wurde aus guten Gründen gewählt. (Und die Arithmetik wird nicht "gebrochen".)

Hier ist einer der guten Gründe: Definieren # p ^ 0 # sein #1# lässt uns die Regeln für die Arbeit mit Exponenten beibehalten (und erweitern), Zum Beispiel, #(5^7)/(5^3)=5^4# Dies funktioniert durch Stornierung und auch durch die Regel # (p ^ n) / (p ^ m) = p ^ (n-m) # zum #n> m #.

Also was ist mit? #(5^8)/(5^8)#?

Stornierung (Reduzierung der Fraktion) gibt uns #1#. Wir behalten unsere Regel "Die Exponenten abziehen", wenn wir definieren #5^0# sein #1#.

Also sollten wir vielleicht dieselbe Regel verwenden, um sie zu definieren #0^0#.

Aber…

Überlegung 2

Für jeden positiven Exponenten # p #, wir haben # 0 ^ p = 0 #. (Das ist nicht eine Definition, aber eine Tatsache, die wir beweisen können.)

Wenn es also für positive Exponanten zutrifft, sollten wir es vielleicht auf die erweitern #0# Exponent und definieren #0^0=0#.

Überlegung 3

Wir haben uns die Ausdrücke angesehen: # x ^ 0 # und # 0 ^ x #.

Schau dir jetzt den Ausdruck an # x ^ x #. Hier ist der Graph von # y = x ^ x #:

Graph {y = x ^ x -1.307, 3.018, -0.06, 2.103}

Eines der Dinge, die Sie dabei feststellen können, ist das Wann # x # ist sehr nah an #0# (aber immer noch positiv) # x ^ x # ist sehr nah an #1#.

In einigen Bereichen der Mathematik ist das ein guter Grund definieren #0^0# sein #1#.

Abschließende Notizen

Definition ist wichtig und mächtig, kann jedoch nicht nachlässig verwendet werden. Ich habe "das Brechen der Arithmetik" erwähnt. Jeder Versuch zu definieren Teilung, so dass Teilung durch #0# erlaubt ist, wird einen wichtigen Teil der Arithmetik brechen. Jeder Versuch

Letzter Hinweis: die Definitionen von #x ^ (- n) = 1 / (x ^ n) # und # x ^ (1 / n) = Wurzel (n) x # Teilweise motiviert ist auch der Wunsch, die bekannten Regeln für die Arbeit mit Exponenten einzuhalten.